Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
(4.7.17)
- I (sin i - cos 2f - 8in 2Ц)] + 0( АД
Если теперь ограничиться членами порядка 0(\/е), то автономная
усредненная система будет гамильтоновой, поэтому, учитывая соображения,
приведенные выше и в разделе 4.4, можно сделать лишь отдельные выводы.
Поэтому мы продолжим усреднение членов 0(e), неявно используя вторую
замену
(К,ф) -*¦ (К,ф) + 0(e).
Опуская двойную черту, получим с точностью до членов 0(e)
h = - т - т cos2ф\ + е |~2<5 - 2 - cos2ф\h,
V 7 J (4.7.18)
ф = -\fe2h + е^ sin 2ф.
Анализ уравнений (4.7.18) мы оставляем читателю, некоторые результаты
представлены на рис. 4.7.2.
УПРАЖНЕНИЕ 4.7.1. Покажите, что если |у > 2(5 - ^), то уравнение (4.7.18)
имеет четыре неподвижных точки, две из которых являются седлами.
Определите тип устойчивости для остальных двух; зависит ли он от значения
5? Что можно сказать о глобальной структуре решений системы (4.7.18) и о
бифуркациях, происходящих при изменении 5, у? Убедитесь в правильности
рисунка 4.7.2. Какие следствия можно вывести из данных результатов в
применении к отображению Пуанкаре для исходной системы (4.7.10)?
(Подсказка: некоторое разумное масштабирование приводит (4.7.17) почти к
уравнениям плоского маятника, как во втором примере раздела 4.6, однако
упражнение все равно остается сложным.)
УПРАЖНЕНИЕ 4.7.2. Вычислите непосредственно функцию Мельникова из
уравнения (4.7.10) и сравните ее с главным членом уравнения (4.7.18).
В заключение отметим характерную проблему, препятствующую прямому
применению метода Мельникова в сочетании с усреднением или нормализацией.
На эту трудность впервые указал Sanders [1980] после незамеченной у
Holmes [1980b]1. Допустим, что мы имеем усредненную систему (4.1.3),
которая "гамильтонова в первом порядке", т. е. система у = = е/(у)
гамильтонова, но "возмущение" е2 f\{y,t,e) может быть или не
1См. также Мельников [1963].
264
Глава 4
(а)
Т~> ? ? ?
Рис. 4.7.2. Анализ уравнений (4.7.18): (а) бифуркационное множество; (Ь)
структурно устойчивые фазовые портреты для у, 5 в областях 1-6.
быть гамильтоновым. Для простоты положим у е R . Изменяя масштаб времени
t -> |, имеем
У = /(у) +?/i (у. е)> У G К2-
(4.7.19)
4.7. УСТОЙЧИВОСТЬ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ОРБИТ
265
?0
(c)
(EI)
ChL С.
L/гх /Гх/
Г> У V/ /'
Рис. 4.7.2 (продолжение), (с) Структурно неустойчивые фазовые портреты
для у, 5 на бифуркационных кривых.
Допустим далее, что при е = 0 система (4.7.19) имеет гомоклиническую
орбиту q°(t), как в примере Дуффинга без диссипации из раздела 4.4.
Вычислим интеграл Мельникова:
М[Т' ?) = J ; e)dt• (4.7.20)
- ОО
Он имеет такой же вид, как и раньше, но теперь М зависит от е. Более
того,
266
Глава 4
относительно быстрые колебания (периода еТ) зависящего явно от времени
члена /1 приводят в общем случае к появлению, в результате
интегрирования, экспонециально малой величины:
(см. Sanders [1980, 1982]). Поэтому теорема 4.5.3 неприменима, по крайней
мере, без тщательного изучения ошибок при аппроксимации истинной функции
расстояния d(to) функцией Мельникова М(?о) в (4.5.5). Желание немедленно
применить теорию Мельникова к усредненным гамильтоновым системам в
примерах Дуффинга или Ван дер Поля, к сожалению, невыполнимо. Однако
независящие от времени члены в fi, содержащие быстрые колебания,
обеспечивают постоянный вклад 0(ек) в функцию Мельникова, если не
выполнено соотношение tr Dfi = 0 (см. уравнение (4.5.15)). Таким образом,
мы можем сделать вывод, что (не зависящая от времени) диссипация
произвольно малого алгебраического порядка достаточна для разрушения
гомоклинического соединения между периодическими орбитами в пределе при е
-> 0 (см. Sanders [1980]). Дальнейшая информация имеется в Нейштадт
[1984] и Holmes et al. [1986].
4.8. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы и сохраняющие
площадь отображения плоскости
Большая часть данной книги посвящена диссипативным динамическим системам
и структуре неблуждающих и притягивающих множеств в таких системах.
Однако, как мы уже видели в данной главе, часто полезно рассматривать
такие системы как возмущения гамильтоновых систем, так как существование
интеграла энергии и других констант движения в таких системах позволяет
получить глобальную информацию о структуре их решений. До сих пор мы в
основном ограничивались обсуждением гамильтоновых систем с единственной
степенью свободы, но, поскольку системы с двумя и более степенями свободы
играют весьма важную роль в теории динамических систем и в классической
механике (см. Пуанкаре [1899], Биркгоф [1927], Мозер [1973]) и поскольку
многие идеи непосредственно относятся и к многомерным диссипативным
системам, мы сделаем в этом заключительном разделе экскурс в теорию.
Общие результаты представляют интерес сами по себе, а недавнее развитие
метода Мельникова упрощает исследование конкретных систем, что
представляется подходящим объектом для гамильтоновой интерлюдии. Кроме
того, значительная часть современной физической литературы по "хаосу"
