Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
эллиптическими центрами, а половина - гиперболическими седлами, так как
точки либо циркулируют вокруг неподвижной точки, либо "монотонно"
покидают ее окрестность (см. Arnold, Avez [1968], § 20).
УПРАЖНЕНИЕ 4.8.6. Докажите последнее утверждение, полагая Р(tm) равным
отображению за время 1 потока некоторого двумерного векторного поля и
пользуясь теорией индексов (ср. раздел 1.8).
Инвариантные многообразия седел располагаются, очевидно, в промежутке
между соседними "иррациональными" инвариантными кривыми, сохраняющимися
для Р?, и эти инвариантные многообразия обязаны пересекаться (в противном
случае отображение не могло бы сохранять площади). В общем случае,
некоторые из этих пересечений будут трансверсальны-ми. Таким образом, в
каждом "резонансном поясе" вблизи невозмущенной кривой J" можно ожидать
существования некоторого сложного множества инвариантных кривых, подобных
тем, которые мы попытались изобразить на рис. 4.8.3. Zehnder [1973]
установил данный результат в типичном случае. Такие области в физической
литературе называют стохастическими слоями, а иногда - гомоклиническими
сплетениями. Как мы увидим в главе 5, каждой точке трансверсального
гомоклинического пересечения соответствует очередное счетное семейство
гиперболических периодических точек, так что динамика в стохастическом
слое очень сложна.
УПРАЖНЕНИЕ 4.8.7. В обсуждаемом контексте рассмотрите сохраняющее площадь
отображение /: (ф, v) -> (ф + v, v - 7 cos(ф + v)) из раздела 2.4 для
малых значений 7. Найдите путем непосредственных расчетов какие-либо
орбиты периода 2 (возможно, 3) и сравните их с гиперболическими и
эллиптическими орбитами, появления которых можно ожидать при бифуркации
подходящих резонансных замкнутых кривых. (См. Green [1980], где
проводится массированная атака на эту проблему.)
Прорезюмированные выше результаты основывались на неконструктивных
аргументах, позволяющих сделать вывод о трансверсальности пересечений. В
противоположность этому, мы покажем в заключение данно-
4.8. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы.
279
Рис. 4.8.3. Резонансные кривые в общем случае распадаются на
стохастические слои.
го раздела и главы, как можно использовать метод Мельникова для расчета
истинного поведения резонансных поясов в конкретных примерах. Churchill
[1982] одним из первых предложил такой подход. Вернемся к уравнению
(4.8.23), зафиксируем полную энергию h и выберем Z" так, чтобы
периодическая орбита да(в), ра{0) невозмущенной системы
, дЬ° , дЬ° (А о
5 = -~Ъ' р = -щ (4ЯМ)
имела период Та = 2ттт/п по в и, таким образом, резонанса 27г-периодиче-
скому возмущению L1. Непосредственное применение метода Мельникова
(теорема 4.6.2 и разделы 4.6-4.7) при учете того, что отображение
Пуанкаре сохраняет площадь, приводит к следующему результату
(доказательство оставляем читателю в качестве упражнения):
Теорема 4.8.3. Если субгармоническая функция Мельникова
2ттга
Мт/п(61°)= J {L0(qa(6), ра(ву1 h),L1(qa(6),pa(6),6 + 6°-1 К)} d6
° (4.8.37)
не зависит от е и имеет j простых корней на промежутке в0 ? [0, 2irm/п),
то резонансная замкнутая кривая L0 = 1а для невозчущенного отобра-
280
Глава 4
жения Пуанкаре Pq распадается на некоторое множество из 2k = j/m
периодических орбит периода то. Кроме того, число j необходимо является
четным кратным то и ровно к периодических орбит гиперболичны и к-
эллиптичны.
Как и в формулах (4.5.12)-(4.5.13), {ТДТ1} = (dL°/Sq)(dL1/dp) - -
(dL°/dp) (dL1 jdq) представляет собой скобку Пуассона функций L0 и L1. В
конкретных примерах расчеты L0 и L1 по формулам (4.8.22) зачастую слишком
громоздки, и более удобно сформулировать теорему в терминах исходного
гамильтониана Н? Р G еН1. Непосредственные вычисления (с учетом (4.8.22))
дают
{ь°'ь1] = ЩЩ{1Г,н1}' (4-838)
где {F, Н1} = (dF/dq)(dH1 /dp) - (dF/dp)(dH1 /dq). Таким образом,
используя тот факт, что на невозмущенном решении (qa,pa) выполняется
соотношение в = 0(L° (qa, рсс, h))t + в0 = 0(la)t + в0, мы можем заменить
(4.8.37) на
Мт/п(в 0) =
27гт/П(Г*)
= J {F(qa(t),pa(t)),H\q"(t),pa(t)M(r)t + 6°- F)}dt.
° (4.8.39)
УПРАЖНЕНИЕ 4.8.8. Проверьте справедливость формулы (4.8.38) и докажите
теорему 4.8.3.
Если система F имеет гомоклиническую орбиту (q°(t), p°(t),
соответствующую линии уровня F = h°, то по аналогии с теоремой 4.5.3
получаем
Теорема 4.8.4. Рассмотрим гамильтонову систему с двумя степенями свободы
вида (4.8.20) и допустим, что F содержит гомоклиническую орбиту (q°(t),
p°(t), соединяющую некоторую гиперболическую седловую точку саму с собой
(т. е. F обладает гомоклиническим циклом). Предположим, что 0.(1) = G'(I)
> 0 при I > 0. Пусть h° = F(q°,pp - энергия гомоклинической орбиты, a h >
h° и 1° = G-1(/i - h°) - константы. Пусть {F, Hr}(t + 0°) обозначает
скобку Пуассона функций F(q°,p°) и ^((Др0, 0(l°)t + в0; 1°), вычисленную
при q =q°(t) и р = p°(t). Определим
ОО
М(в°)= ({F,Hl}(t + 6°)dt (4.8.40)
4.8. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы.
