Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
период возмущений. Положим
гпТ
= J f(qa(t)) A g(qa(t), t + t0) dt. (4.6.2)
0
246
Глава 4
Теорема 4.6.2. Если Мт/п(фо) имеет простые корни, не зависит от е и
dTa/dha 0, то для 0 < е ф е{п) система (4.5.1) имеет субгармоническую
орбиту периода тТ. Если п = 1, то этот вывод справедлив равномерно по 0 <
? < е(1).
Доказательство. Вычисления, аналогичные проделанным выше при
доказательстве теоремы 4.5.3, показывают, что
f{qa{0)) /\{q?{t0 + mT, t0) -q?{t0,t0) =
io+mT
= s J f(qa(t-t0))Ag(qa{t-t0),t)dt + O(s2) =
to
mT
J v |/(9"(0 I v ;
0
Таким образом, если имеет корень, то существует возмущенная
орбита q?(t, to), выходящая из q^(to) и возвращающаяся на Е*° в точке
qf(to + гпТ), для которой вектор qf(to 3-Т) - qf(to) С Е*° параллелен
/(<?"(0)) с точностью О(е). Положим для значений /3, близких к а,
тпТ
М13(to) = f /(q13) A gifP, t + to)dt. Очевидно, что M13 является гладкой
о
функцией /3. По предположению АЗ, для /3 < а имеем Тр < Та, а для /3 > а
будет Тр > Та. Отсюда следует, что можно найти такие возмущенные орбиты
qd1, qd2, f3\ < а < [32, что векторы + rriT) - qd^to) С Eto qd1
параллельны f(qd'(0)) с точностью до О(е), но имеют противоположные
ориентации. Таким образом, существует кривая начальных условий,
соединяющая qd1 (t0) с qd2 (to), отображаемая после то итераций
отображения Р*° назад на сечение Е*°, как показано на рисунке 4.6.2. Мы
установили, что отображение (Р|°)т, усеченное до членов порядка е, имеет
неподвижную точку вблизи qa(0).
Далее, предвосхищая материал разделов 4.7-4.8, введем локальные
координаты (1г,ф) вблизи qa(0), для которых ф постоянна вдоль кривых,
нормальных к невозмущенным орбитам, a h постоянна на каждой невозмущенной
орбите qd(t). В этих координатах невозмущенное отображение выглядит так:
fpto\m (_ ( h |
^ 0 ' \ф) \и{Ь) + ф) '
где w(0) = 0, a uj(h) < 0 по предположению АЗ. Тогда возмущенное отоб-
4.6. Возмущения гамильтоновых систем и субгармонических орбит 247
Рис. 4.6.2. Существование неподвижной точки "с точностью О(е)" (т. е. для
отображения, усеченного до членов порядка е).
ражение имеет вид
(ф) = (u<4АЗ>
f) F
Покажем теперь, что функция Мельникова позволяет определить
Для этого заметим, что переменная to для функции играет точно
такую же роль, как ф. Так как Мт/п измеряет 0{е) вариацию компоненты
орбиты, параллельной / ± (qa(0)), мы имеем
dF = 1 дМт/п
дф |/(g" (0))| dt0
Следовательно, если Мт/п имеет простой корень, то dF/дф ф 0 вблизи qa(
0).
Мы уже установили, что (Р|°)т имеет неподвижную точку в 0(е)-окрестности.
Чтобы проверить, что это же имеет место для отображения, к которому
добавлены члены старшей степени 0(е2), нужно лишь показать, что
det | id - (.DP*0 )m ф 0.
Далее, вследствие (4.6.3) имеем
det | id-(DP*°)m| = еш\Ь)Щ + 0(е2).
248
Глава 4
Так как и)'(К) < 0 по предположению АЗ, а простота корня функции Мт/п
гарантирует, что dF/дф ф 0, то матрица [id - (DP/a)m] обратима. Тогда по
теореме о неявной функции (Р|°)(tm) имеет неподвижную точку вблизи qa (0),
следовательно, существует субгармоника порядка т/п. Неравномерность в
случае п > 1 возникает потому, что лемма 4.6.1 применима лишь к орбитам
продолжительности Та = гпТ, совершающим один проход через Uv(p), а
"ультрасубгармоники" периода гпТ/п проходят через ?/" (р) п раз. ¦
Замечание. Заметим, что если АР"/" не имеет нулей, то все решения
движутся либо внутрь, либо наружу от невозмущенной орбиты, и возмущенное
отображение не имеет неподвижных точек.
Устойчивость субгармоник, получаемых по теореме 4.6.2, изучается в
следующем разделе.
Иммется также результат о бифуркации, аналогичный теореме 4.5.4:
Теорема 4.6.3. Рассмотрим параметризованное семейство х = /(ж)+ + eg(x,t;
р), р <G К. и допустим, что гипотезы А1-АЗ выполнены. Допустим, что Мт/п
(to, р) имеет квадратичный нуль: Мт/п = дМт/п jdto = = 0; д2Мт/п jdt\ ф
0, дМт/п/др ф 0 при р = ръ. Тогда существует бифуркационное значение рт/п
= ръ + 0(e), при котором имеются седло -узлы периодических орбит.
Данная теорема доказывается аналогично теореме 4.5.4 при помощи идей,
использованных при доказательстве теоремы 4.6.2.
Следующий результат аналогичен полученному Chow et al. [1980]. Из него
следует, что гомоклиническая бифуркация является пределом счетной
последовательности субгармонических бифуркаций типа "седло-узел".
Теорема 4.6.4. Положим Mm/l(to) = Mm(to), тогда
lim Mm(t0) = M(to). (4.6.4)
m->oо
Доказательство. Мы должны показать, что интеграл
тТ /2
Mm(t0)= J f(qa(t-t0))Ag(qa(t-t0),t)dt (4.6.5)
- mT/2
СХОДИТСЯ к
оо
М(t0) = J /(q°l(t - t0)) A g(q°(t - t0), t) dt (4.6.6)
4.6. Возмущения гамильтоновых систем и субгармонических орбит 249
при та -а- оо и а(т) -> 0. (Заметим, что из периодичности Mm(to) следует,
что мы можем изменить пределы интегрирования с 0 ^ таТ на - таТ/2 ^
таТ/2.) Полагая Г" = {qa(t) \ t ? [0,TQ)} и Г° = = {9°(0 I t ? Ж} U {ро}?
выберем окрестность Uv(p) таким образом, чтобы длины всех дуг Г° П Uv(p),
Г" П Uv(p) были меньше v. Возьмем т таким, чтобы обе точки q°(r) и q°( -
