Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
существует ровно одно значение h = Ь!, для которого М(а, 5, Ы) = 0,
причем М(а, 5, К) < 0 (соответственно, > 0) при h > h' (соответственно, h
< hr). Отсюда следует существование единственной притягивающей замкнутой
орбиты, окружающей фазовый цилиндр, для каждого <5 ? (0,7ш/4) (см.
рисунок 4.6.5). Заметим, что h! возрастает вместе с а/5.[
УПРАЖНЕНИЕ 4.6.2. Покажите, что ни одна из замкнутых орбит, окружающих
центр на рисунке 4.6.4, не сохраняется при рассматриваемых возмущениях,
если а ф 0. (Подсказка: воспользуйтесь критерием Бендиксона, но будьте
внимательны.)
УПРАЖНЕНИЕ 4.6.3. При помощи метода Мельникова изучите бифуркации
субгармоник и гомоклинических орбит для маятника с параметрическим
возбуждением и демпфированием:
9 + eS9 + (1 + e'jcosujt) sin# = 0.
УПРАЖНЕНИЕ 4.6.4. Рассмотрите систему
х = у,
у = х - х3 + ау + (Зх2у,
где а, (3 - малые положительные числа. Покажите, что существуют пары
(а,(3), для которых сохраняются гомоклинические орбиты, имеющие место при
а = (3 = = 0, причем это бифуркационное множество приближенно описывается
уравнением а = 4/3/5. Покажите, что для значений а, близких, но меньших,
нежели 4/3/5, существуют две замкнутые орбиты, окружающие три неподвижных
точки, а для значений a G (4/3/5,/3) имеется три замкнутые орбиты, две из
которых окружают по одному узлу, а третья окружает все три неподвижных
точки. (Подсказка: см. Carr [1981], Takens [1974b], Holmes, Rand [1980],
Greenspan, Holmes [1983] или Knobloch, Proctor [1981]2.)
4.7. Устойчивость субгармонических орбит
В данном разделе мы познакомимся с другим подходом к исследованию
субгармонических движений, который позволяет получить выводы об
устойчивости наряду с некоторыми результатами более глобального
характера3. Вновь предполагаются выполненными предположения, сделанные
1 Уравнение М(а, <5, h) = 0 называется порождающим уравнением Пуанкаре -
Понтрягина.
2См. также Морозов [1995], [1995а] [13]. - Прим. ред.
3По этому поводу см. Морозов, Шильников [14], а также Морозов [1995],
[1998]. -Прим. ред.
258
Глава 4
в разделе 4.5. Вначале сделаем симплектическое преобразование к
переменным "действие-угол" (Goldstein [1980]) внутри гомоклинической
петли Г° (Мельников [1963]):
Новые координаты 7, в можно назвать "нелинейными полярными координатами",
выбранными таким образом, что для невозмущенной гамильтоновой системы на
плоскости выражение 7(7) остается вдоль решений постоянным, a 0(t)(mod
27г) является линейной функцией. Преобразование такого типа можно сделать
в любой области, содержащей эллиптический центр и заполненной непрерывным
семейством периодических орбит. В обсуждаемом случае данное
преобразование вырождается на гомоклинической орбите Г°. Общие сведения о
переменных "действие-угол" и формулах для перехода к ним можно найти в
Goldstein [1980] или Арнольд [1978]. Мы отмечаем важное обстоятельство,
что в результате такого преобразования невозмущенный гамильтониан Н(и, v)
принимает вид
т. е. 77 не зависит от в. Эффективность такого преобразования
проиллюстрирована ниже для некоторого примера на рисунке 4.7.1.
В результате преобразования уравнение (4.5.1) принимает вид
где принята во внимание независимость 77(7) от в и сделано обозначение
0(7) = 977/97 для угловой частоты замкнутой орбиты, соответствующей
значению действия 7 и энергии 77(7).
Аналогично разделу 4.6, выберем резонансную орбиту периода гпТ/п,
соответствующую значению действия 7m,n, и исследуем возмущеннное движение
в ее окрестности при помощи преобразования
7 = 7(м, v), в = в{и,у),
(4.7.1 а)
допускающее обращение
и = 7/(7, в)
v = у{1, в).
(4.7.16)
H{U(7, в), У(1,в))=Н(1),
(4.7.2)
(4.7.3)
def
0(7) + sG(I, в, t),
4.7. УСТОЙЧИВОСТЬ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ОРБИТ
259
Здесь Ниф описывают отклонения от решений qa(m<n) (t) периода rriT/п,
заполняющих резонансный тор надстроенной невозмущенной системы.
Подставляя (4.7.4) в (4.7.3) и используя разложение по степеням е,
получим главные члены вида
к = \/eF(Im'n, nm'nt + ф, t)
. + 0(e), (4.7.5)
ф = ^/EX(Im'n)h
где ГУ = dtl/dl. Сделанное предположение dT/dh ф 0 гарантирует, что О,' ф
0.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем
д! = 97 дН = 1дН = _lf dI = Lf Г4 7
ди дН ди П ди П72' dv П71' ^ '
Используя явное выражение (4.7.3) для функции F, из формул (4.7.6)
получаем
F = ^{h92-h9i). (4.7.7)
Если функции F и ГУ ограничены, то к системе (4.7.5) можно
при-
менить теорему об усреднении, в результате чего устраняется явная
зависимость от времени в членах 0(e). С точностью до этих членов, система
примет вид
тТ
/ Я9"(*))Л$(д"(4), t+
о
ф =
иди
h = X мт/п
2тг п \Пт'п)' (4.7.8)
ф = (Im'n)h,
где qa - резонансная орбита периода гпТ/п. Заметим, что система (4.7.8)
имеет гамильтонову форму, а (не зависящий от времени) гамильтониан
задается формулой
260
Глава 4
Непосредственный анализ показывает, что система (4.7.8) имеет неподвижные
точки при h = 0 и таких значениях ф, для которых Мт!п = = 0, причем они
