Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 86

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 199 >> Следующая

других приложениях. Невозмущенная система имеет знакомый фазовый портрет
(рисунок 4.6.4) с парой гомоклинических орбит
(9±(t), v±(t)) = (±2 arctg(sh(i)), ±2 sech t). (4.6.21)
Мы хотим определить значения а, 5, для которых одна из этих орбит (или
обе) сохраняется. Для верхней орбиты мы получаем независящую от времени
функцию Мельникова, зависящую от двух параметров a. S:
ОО
М+{а,5)= J v°+{t)[a- <Ь° (i)] dt.
См. также Морозов [1995].
4.6. Возмущения гамильтоновых систем и субгармонических орбит 253
её
Рис. 4.6.3. Бифуркационные кривые для гомоклинических орбит и
субгармоники уравнения Дуффинга: (а) Кт(ш) (субгармонические орбиты
внутри Г^); (Ь) наклоны Ит(ш), ш = 1. Отметим быструю сходимость Кт{ш) и
Ит(ш) к Д°(ш).
254
Глава 4
v
Рис. 4.6.4. Невозмущенный плоский маятник.
Используя равенство v = dd/dt, получаем
7Г ОО
М+(а, 5) = a J d9 - 48 J sech21 dt = 2ттое - 8S. (4.6.22)
- 7Г -OO
Для нижней орбиты первый из интегралов в (4.6.22) имеет пределы от тг до
- 7г, и мы имеем
М~ (а, <5) = - 2тта - 8S. (4.6.23)
Здесь функция Мельникова не зависит от времени (как и должно быть, так
как система (4.6.20) автономна). Поэтому теорему 4.5.4 следует
модифицировать подходящим образом. В данном случае можно, например,
зафиксировать <5 > 0, тогда функция М+(а, 8) имеет простой нуль при а = =
48/тг. Аргументация, аналогичная использованной при доказательстве
теоремы 4.5.4, позволяет сделать вывод, что верхняя гомоклиническая
орбита сохраняется при гомоклинической бифуркации, она лежит на
единственной кривой, касающейся линии
а = |<5 (4.6.24)
при 5 = 0, в то время как при а, 5 > 0 нижняя орбита всегда разрушается.
Более того, поскольку М+ > 0 при а > (4/7г)<5 и М+ < 0 при а < (4/7г)<5,
из (4.5.5) и (4.5.11) можно сделать вывод, что верхняя ветвь Ws (тг, 0)
лежит ниже (соответственно, выше) верхней ветви Wu (-тг, 0) в этих двух
случаях (см. рисунок 4.6.5). Заметим, что для всех а, 5 > 0 будет М~ < 0,
и нижняя ветвь устойчивого многообразия W3(-тг, 0) всегда лежит ниже
нижней ветви Wu(n, 0) (рисунок 4.6.5).
4.6. Возмущения гамильтоновых систем и субгармонических орбит 255
притягивающая
Рис. 4.6.5. Фазовые портреты для маятника со слабым постоянным крутящим
моментом а и демпфированием S: (а) а < 4<5/7г; (Ь) а ~ 4<5/7г; (с) а >
4<5/7г.
Выясним теперь, имеются ли в возмущенной системе какие-либо другие
неблуждающие или инвариантные кривые. Вначале отметим, что такие
множества не могут сохраняться при v < 0, так как в нижней половине
фазовой плоскости вектор возмущений ^ ) направлен вверх, поэтому
все фазовые кривые дрейфуют кверху. Кроме того, при а ^ 0 не могут
сохраняться орбиты, окружающие начало координат (см. ниже упражнение
4.6.2). Замкнутые орбиты, лежащие выше верхнего соединения и окружающие
фазовый цилиндр, могут сохраняться. Несложно показать, что для достаточно
больших значений а существует, по крайней мере, одна такая замкнутая
орбита, причем она является аттрактором. Для этого надо построить две
кривых, окружающих цилиндр и ограничивающих на нем полосу В, лежащую выше
верхнего седлового соединения, такую, что векторное поле направлено
внутрь В. Поскольку область В не содержит неподвижных точек, она должна
содержать, по крайней мере, одну притягивающую замкнутую орбиту, подобную
орбите Г на рисунке 4.6.5с, где точки а и а' отождествляются (см. Levi et
al. [1978]).
Для доказательства единственности этой замкнутой орбиты, по крайней мере,
для малых а, 5, рассмотрим возмущение эллиптической интегральной кривой,
заданной формулой
+ (!-""""(()) = А,
(4.6.25)
256
Глава 4
где h > 2, выбирая положительную (верхнюю) ветвь. Заметим, что эта кривая
переходит при h = 2 в гомоклиническую орбиту. Из уравнения (4.6.25)
получаем
= ^2h-2{l-cos6h) = Vzh(l - |Sm2(f))1/2. (4.6.26)
Период данной невозмущенной замкнутой кривой равен удвоенному времени, за
которое решение проходит между точками в = 0 и в = тт:
y/2hT(h) = 2 J
d6h
Q (1 - (2//i)sin2(0V2))1/2
Полагая 6h = 2ф, получим
Г(,1) = Ш / d-p/wv" = ±КФ' (4-<,-27)
где К(тп) - полный эллиптический интеграл первого рода. Заметим, что T(h)
-> оо при /i -> 2 и T(/i) -> 0 при h -> оо, поскольку ЛГ(0) = 7Г/2.
Хотя мы можем выразить невозмущенное решение через эллиптические функции:
vh(t)) = ^2arcsin
(4.6.28)
мы не будем использовать эту явную форму. Субгармоническая функция
Мельникова задается равенством
T(h)
M(a,S,h) = J vh(t)[a - 5vh(t)} dt, (4.6.29)
о
откуда при учете равенств v = dd/dt и (4.6.26) получаем
7Г 7Г
М(а, 5,h) = a J сЮ - 8 j vh{t) d6 =
- 7Г -7Г

= 27га - 25 j V2fc(l-|sin2(§)) dd = 2па- о
7Г / 2
4л/Ш j (i - | sin2 </>) 1/2d(t> = 2тт - Ay/2h8E^J^j , (4.6.30)
4.7. УСТОЙЧИВОСТЬ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ОРБИТ
257
где Е(гп) - полный эллиптический интеграл второго рода. При h = 2 имеем
Е( 1) = 1, и уравнение (4.6.30) сводится к (4.6.22); функция Е{^2/К)
монотонно возрастает и стремится к 7г/2 при h -> сю. Можно заключить, что
для достаточно малых ? и произвольном выборе а, 5 в области а > 4<5/7г
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed