Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 90

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 199 >> Следующая

посвящена проблемам в гамильтоновых системах, и данная книга частично
следует этой традиции. Основы
(4.7.21)
4.8. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы .
267
общей теории и дальнейшие ссылки содержатся в книгах Лихтенберга и
Либермана [1982], а также Чирикова [1979]. Более полную информацию о
гамильтоновой механике можно найти в Goldstein [1980] или Арнольд [1978].
Хотя последующие идеи допускают обобщение на многомерные системы, мы
будем рассматривать систему с двумя степенями свободы и гамильтонианом
H(qi1pi1q2,p2); соответствующие уравнения движения (уравнения Гамильтона)
таковы:
. _ дН . _ дН
qi dpi ' q2 др2 '
(4.8.1)
р1 = -дН р2 = _т.
Pl dqi ' 12 dq2
Здесь qi представляют собой обобщенные координаты, pi - сопряженные им
импульсы. Как и в случае одной степени свободы, несложно проверить, что
полная производная по времени от Н равна нулю:
f=x(f"+fAH,
г=1
следовательно, величина Н на решениях постоянна. Более важное следствие
формулы (4.8.2) состоит в том, что любое трехмерное многообразие
H(qi,pi,q2,P2) = h = const (4.8.3)
инвариантно относительно потока (4.8.1), так что для данной полной
энергии h этот поток, по-существу, трехмерен. Это позволяет нам пострить
двумерное (локальное) сечение и соответствующее отображение Пуанкаре в
конкретных случаях и изучать динамику системы (4.8.1) в терминах
двумерных отображений.
Для пояснения этих идей возьмем специальный класс систем, полагая, что
две переменные, скажем, q2 и ]>¦> можно выразить через переменные
"действие-угол", т. е., аналогично разделу 4.7, существует обратимая,
каноническая (симплекгическая) замена координат (Goldstein [1980])
(возможно, определенная лишь локально):
I = I{q2,P2), q2 = Q2{0,I),
e = e{q2,P2), P2 = P2(0,I), (>
где функции Q > и P2 имеют по в период 2тг, в результате которой
гамильтониан Н(qi, pi, 52,Р2) примет вид
268
Глава 4
(Здесь и далее опущены индексы у переменных (ц. pi.) Уравнения,
порождаемые гамильтонианом (4.8.5), выглядят так:
. Ш А дН
Ч= 9^' 0=97'
(4.8.6)
Ь=_Ш т = _Ж
1 dq' дв'
Допустим теперь, что в некоторой области фазового пространства дН/dl / 0,
так что уравнение (4.8.5) в этой области позволяет определить I как
функцию от q7p76 и h\
I = L{q7p7 67h). (4.8.7)
Исключив явную зависимость от I на многообразии Н = h, мы затем исключаем
переменную, сопряженную к Н, т. е. t. Поскольку производная в = дН/dl
строго положительна (или отрицательна), функция 6{t) монотонно возрастает
(или убывает). Следовательно, эту функцию можно обратить для исключения
явной зависимости от времени. Обозначим q' = = dq/d07p' = dp/d6, тогда
• дН/др , ¦ dH/dq
q' = qe =------, р'=рв =----------------. (4.8.8)
4 41 дН/дГ F 11 дН/dl v 7
Дифференцирование формулы (4.8.5) при учете (4.8.7) приводит к таким
соотношениям:
Ш,(ШдЬ= n dH,dHdL= п о а\
dq dl dq ' dp dl dp ' 1 ;
откуда, в совокупности с (4.8.8), имеем
(q7p7 в) е D х S1. (4.8.10)
q' = k
P' = |ц(я,Р,0\ h),
Мы назовем 27г-периодическое двумерное семейство систем (4.8.10)
редуцированными гамильтоновыми системами. Такая система существует на
каждом энергетическом многообразии Н = h ив каждой области D х S1
фазового пространства, в которой выполнено наше предположение dH/dl ф 0.
Использованная здесь идея редукции обсуждалась
4.8. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы .
269
Биркгофом [1927] и наверняка была известна Пуанкаре [1890-1899]; см.
также Уиттекер [1959, гл. 12].
Возьмем теперь сечение
Е(r)°0 = {{q,p,9) е D х S'1 \ в = во е [0,2тг}; h = h0} (4.8.11)
и рассмотрим отображение Пуанкаре Р(r)fi : U -> Е^о, индуцированное
решениями системы (4.8.10), на некотором подмножестве U С Е^. В итоге мы
свели наш четырехмерный поток к некоторому семейству двумерных
отображений. Заметим, что во многих численных исследованиях двумерных
гамильтоновых систем строилось немного иное отображение Пуанкаре (см.
Henon, Heiles [1964], Lichtenberg, Lieberman [1982]). Оставаясь в
"старой" системе координат (qi,Pi,q2,P2), зафикисируем, к примеру, Q2 = 0
и построим отображение пространства (q\,p\) в себя, рассчитывая численно
значения q\(t), p\{t) до того момента, когда q2(t) = 0 и p2(t) = 0. Как и
выше, получаемое при этом отображение обычно не имеет глобального
характера, так как плоскость qi (7). /ц (I) не обязательно всюду трансвер
сальна к векторному полю, однако отображения двух описанных типов
эквивалентны.
В качестве примера возьмем линейную систему с двумя степенями свободы,
рассмотренную в разделе 1.8:
2 I 2 2 2 I 2 2
тт, ч Pl+^lQl ,Р2+Ш2<?2 /я о 114
H{qi,pi,q2,P2) = ц 1 ц • (4.8.12)
Переходя к переменным "действие-угол" по формулам q2 = \J(27/и>2) sin в,
Р2 = \J(2I/LJ2) c°s0 и опуская индексы у переменных q\,p\, получаем
H(p,q,I,6) = Р +^iq +LU2I = h. (4.8.13)
Очевидно, что неравенство дН/dl = и>2 > 0 всегда выполнено, поэтому
соотношение (4.8.13) можно обратить при условии h > 0:
7=(Л-,Е^!)"2-. (4.8.14)
Таким образом, редуцированные системы (4.8.10) примут вид:
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed