Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
S П /_1 (S) линейно.
Обращая изгибание и растяжение, легко заметить, что обратный образ
f~1(S(~lf(S)) = Snf~1(S) представляет собой две горизонтальных полосы Н\
= [0,1] х [а, а + ц-1] и Н2 = [0,1] х [6, Ъ + ц-1], в каждой из которых /
имеет постоянный якобиан
1 Ii этом разделе авторы делают ссылки на работы, которые, как правило,
мало доступны для российского читателя. В последние годы на русском языке
опубликованы книги Каток, Хасселблат [15], Мун [16], Боуэн [17], Шустер
[18], см. также Алексеев [19], Заславский [20]. - Прим. ред.
(5.1.1)
5.1. Подкова Смейла
289
D С
С__________D
А В
А В
Рис. 5.1.1. Подкова Смейла.
где знак "плюс" соответствует Hi, а "минус" - Н2\ здесь 0 < А < 1/2 и ц >
2. На каждом из множеств //, отображение / сжимает горизонтальные отрезки
с коэффициентом А и растягивает вертикальные отрезки с коэффициентом ц.
При итерациях отображения / большинство точек либо покидают S, либо не
содержатся в образе /*(<S'). Те точки, которые все время остаются в S,
образуют множество Л = {x\fl(x) С S, - оо < г < оо}. Это множество Л
имеет сложную топологическую структуру, к описанию которой мы теперь и
переходим. Каждая горизонтальная полоса Щ растягивается под действием / в
прямоугольник V} = /(Щ), который пересекает как Hi, так и Н2- Поскольку /
прямолинейно на //,, те точки, которые остаются в Hi после применения /,
приходят из более тонких горизонтальных полосок в Hit см. рисунок 5.1.2.
Так как Нг U Н2 = /_1 (S П f{S j), то эти четыре более тонких полоски
образуют множество f~2(S П f(S) П f2(S)). Продолжая по индукции, получим,
что множество f~n(S П f(S) П ... П fn(S)) является объединением 2(tm)
горизонтальных полосок. Толщина каждой из них равна поскольку \df /ду\ =
ц во всех точках из Hi U Н2, а все точки первых (гг - 1) итераций
горизонтальных полосок остаются внутри Hi U //_>. Пересечение всех этих
горизонтальных полосок образует (при п ¦ оо) канторово множество
горизонтальных сегментов. Мы обсудим эту структуру ниже.
290
Глава 5
Рис. 5.1.2. Итерации /: Vij = f2(Hij).
Рассмотрим теперь образ одной из 2" горизонтальных полосок из f~n(S П
f(S) П ... П fn(S)) под действием /". По правилу дифференцирования
сложной функции, мы получаем для этих точек
Dfn - 0 ^
~ \ 0 ±рп) '
поэтому образ представляет собой прямоугольник с шириной по горизонтали
А", простирающийся по вертикали от верха квадрата до его низа.
Отображение /" взаимно однозначно, поэтому образы горизонтальных полосок
различны. Мы приходим к выводу, что S П f(S) П ... П fn(S) представляет
собой объединение 2" вертикальных полосок, каждая из которых имеет ширину
А". Пересечение этих множеств для всех п ^ 0 является канторовым
множеством вертикальных сегментов, состоящих из точек, лежащих в образах
всех отображений /". Для попадания в Л точка х должна лежать как на
горизонтальном, так и на вертикальном сегменте из описанных выше наборов.
Следовательно, топологически Л также является канторовым множеством: его
компонентами являются точки, причем каждая из них является предельной
точкой для Л. На рисунке 5.1.3, дающем представление о структуре Л,
показано 16 компонент множества f-2(S) П f-\S) ns Г f(S) П f2(S)).
До сих пор мы, по существу, повторяли неформальное описание подковы из
раздела 2.4. Мы можем, однако, получить и более полное описание,
содержащее информацию о динамике каждой точки, при помощи конструкции,
аналогичной использованной в предыдущем разделе для одномерных
отображений. В этой конструкции мы замечаем, в какую горизонтальную
полосу Hi или Н2 попадает каждая из итераций точки х G Л и используем эту
информацию для характеристики данной точки. Каждой из точек х G Л будет
сопоставлена некоторая бесконечная в обе стороны последователь-
5.1. Подкова Смейла
291
11.22
22.2^
21.12
12.11
Рис. 5.1.3. Маленькие черные прямоугольники ширины Л2 и высоты ц 2
2
являются компонентами |"| fn(S). Четырехсимвольные последовательности
71 = - 2
{о-га-i • aoffli} относятся к упражнению 5.1.1.
ность, так как здесь отображение обратимо, в отличие от х -а- 2а; (mod
1). Для такой последовательности множество индексов состоит из всех целых
чисел Z\ мы используем обозначение а = {аг}(Е_оо.
Теорема 5.1.1. Существует такое взаимно однозначное соответствие ф между
Л и множеством Е бесконечных в обе стороны последовательностей из двух
символов, что последовательность b = ф{ф{х)) получается из
последовательности а = ф{х) при помощи сдвига на одну позицию: bi = йг+i-
Множество Е можно снабдить метрикой
Отображение ф является гомеоморфизмом из Л в Е, снабженное этой метрикой.
Доказательство. Доказательство данной теоремы может служить основой для
понимания работы символической динамики. Пусть символы, фигурирующие в
условии, равны 1 и 2. Отображение определяется формулой
если a,i = bi, если Q>i -f- bi.
(5.1.2)
ф{х) = {аф\°Ф
;=-ОО 5
где Р{х) е Наг
(5.1.3)
292
Глава 5
Короче говоря, х лежит в Л тогда и только тогда, когда /г(х) ? Hi U Н2
