Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
случайной. Мы познакомились с некоторыми такими примерами в главе 2.
Данная глава посвящена обсуждению простых, геометрически определенных
систем, в которых имеет место такое хаотическое движение. Мы опишем как
нерегулярный характер отдельных решений, так и сложные геометрические
структуры, ассоциированные с их предельным поведением. Основной
используемый метод носит название символической динамики, а общий подход
к вопросу, который мы применяем, известен как теория динамических систем.
Мы не будем систематически развивать эту теорию, а лишь сформулируем ее
главные результаты и предоставим краткий обзор литературы. Наша стратегия
при решении конкретных задач включает, как правило, приближенные и
численные методы, подобные использованным в главе 4 и позволяющие
установить существование интересной геометрической структуры у подходящих
отображений Пуанкаре с последующим применением методов данной главы.
Мы начнем с рассмотрения действительно случайного процесса: экспериментов
с подбрасыванием (идеальной) монеты. Представим себе, что монета
подбрасывается бесконечное число раз. Мы приведем в сжатой форме
результаты, касающиеся такой последовательности. Присвоим "орлам"
значение ноль, а решкам - единицу, тогда исход эксперимента описывается
некоторой последовательностью а = где а* = 0,1. Если ин-
терпретировать а как двоичное разложение некоторого числа х ? [0,1], то
мы можем изобразить исход бесконечной последовательности бросков при
помощи единственного числа. С формальной точки зрения, если Е - множество
всех полубесконечных последовательностей из нулей и единиц, а I = [0,1],
то мы определили отображения ф: Е -> I. Заметим, что отображение ф
взаимно однозначно, если не принимать во внимание последова-
5.0. Введение
285
тельности а, которые оканчиваются бесконечной подпоследовательностью,
состоящей только из нулей или только из единиц. Таким образом, для
данного числа х ? I мы можем восстановить ф~г(х) - последовательность
бросков монеты в виде строки из нулей и единиц - из двоичной записи х.
Для определения двоичного представления числа х ? I можно последовательно
вычислять целую часть числа 2пх (mod 2) при условии, что 2пх никогда не
будет целым числом. Если мы определим /: I -> I как f{x) = 2х (mod 1), то
п-я позиция двоичного представления х будет нулем
или единицей судя по тому, принадлежит величина fn{x) интервалу (0,
или (i, 1). Если fn{x) = то х имеет два представления. Последовательность
бросков монеты, соответствующая х, является последовательностью целых
чисел в их двоичном представлении, поэтому существует явная взаимосвязь
между множеством всех последовательностей бросков монет (пример
вероятностного пространства) и точками интервала /, осуществляемая при
помощи определенного выше отображения f{x). С вероятностной точки зрения,
процесс случайного выбора начального условия (по отношению к мере Лебега)
и последующего наблюдения за тем, лежит ли каждая из итераций fn{x) слева
или справа от i, полностью эквивалентен бесконечной
последовательности бросков симметричной монеты. Мы продемонстрировали
взаимно однозначное соответствие между реализациями некоторого случайного
процесса и орбитами детерминированной динамической системы. Читателю
рекомендуется сравнить это отображение с отображениями возврата для
систем Ван дер Поля и Лоренца, описанными во второй главе. Мы вернемся к
отображению Лоренца позднее в данной главе.
Мы хотим распространить данное простое соответствие между отображением и
случайным процессом на возможно более широкий класс отображений.
Используемый для этого метод называется символической динамикой. Для
предельных множеств, имеющих гиперболическую структуру, мы установим
связь с (топологической) цепью Маркова с конечным числом состояний в
виде, обобщающем предыдущие обсуждения. Гиперболические предельные
множества представляют собой прототип для решений обыкновенных
дифференциальных уравнений, проявляющих поведение, похожее на случайное.
Тем не менее, негиперболические предельные множества также зачастую
встречаются в важных для практики задачах: они имеют место в
рассмотренных в главе 2 примерах Дуффинга, Ван дер Поля и для
подскакивающего мяча. Желательно было бы изучить символическую динамику
таких множеств, однако это не было сделано в удовлетворительной или
систематической форме, за исключением особого случая отображений,
определенных на прямой. Для этого случая имеется развитая общая теория, и
мы отсылаем читателя к книге Collet, Eckman [1980], где описывается
286
Глава 5
современное состояние этой теории, различные аспекты которой будут
обсуждены по мере изложения в данной и следующей главах1.
Рис. 5.0.1. График д(х). Отметим подынтервалы 1\ = [0, ^ - ^/а] 11
=
= [г; + |у/1 - 4/а, 1].
Мы начнем с описания символической динамики одномерного отображения д: К
-ч- К, заданного формулой g(x) = ах( 1 - ж), где а > 2 + -\/5, в качестве
прелюдии к нашему анализу подковы в следующем разделе. Отображение д
