Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
281
и допустим, что М(в°) имеет простой нуль и не зависит от е. Тогда для
достаточно малых значений е > 0 гамильтонова система, соответствующая
(4.8.20), имеет трансверсальные гомоклинические орбиты на энергетической
поверхности Ш = h.
Из анализа трансверсальных гомоклинических орбит и обсуждения подковы,
предстоящих в главе 5, следует такое утверждение:
Следствие 4.8.5 (см. теорему 5.3.5). Данная система обладает
гиперболическим инвариантным множеством (см. ниже раздел 5.2) Л на
энергетической поверхности Н = h; Л обладает плотной орбитой, поэтому
система не имеет второго глобального аналитического интеграла.
(Ziglin [1982] недавно опубликовал аналогичный результат.)
Если предположения теорем 4.8.3 и 4.8.4 выполнены, то невозмущенное и
возмущенное отображения Ро и РЕ (см. (4.8.26)-(4.8.27)) обладают
структурами инвариантных кривых, изображенными на рисунке 4.8.4.
Рис. 4.8.4. Инвариантные кривые невозмущенного и возмущенного отображений
Пуанкаре: (а) Ро; (Ь) Р?.
В качестве примера рассмотрим систему слабо связанных маятника и
линейного осциллятора (см. Holmes, Marsden [1982а]) с гамильтонианом
(см. упражнение 4.8.2). Перейдем от системы (х,у) к переменным "действие-
угол" по формулам
тогда функция (4.8.41) примет вид
282
Глава 4
Система F имеет пару гомоклинических орбит
{q°{t), P°{t)) = (±2 arctg(sh(t)), ±2 sech у) (4.8.43)
с энергией
F(q,p)=h° = 2. (4.8.44)
Следовательно, мы возьмем h > 2 и положим
1° =G-\h-h°) = ^(h- 2). (4.8.45)
Теперь можно оценить функцию Мельникова, пользуясь формулой
гг гИт dF дН1 dF дН1 ( j~2I . а \ 5
№н)= эгж--щ;^г=р\у~3 е~")- (4'8'4<,)
где скобки Пуассона надо вычислять на орбите (q°(t), p°(i), 0(i) = ujt +
в0,
m = п
М(в°) = J 2 sech(t) ^-2 arctg(sh t) ±---------------- sin(wt +
0°)^ dt.
- ОО
(4.8.47)
Здесь "плюс" относится к верхней ветви гомоклинической орбиты (р > 0), а
"минус" - к нижней (р < 0). Первый интегрант в формуле (4.8.47) нечетен,
и интеграл от него равен нулю, второй интегрант можно оценить методом
вычетов; в результате получим
М(в°) = ±27Гл/2^ 21 sech(^) sin в0. (4.8.48)
Поскольку функция М(в°) имеет простые корни, условия теоремы 4.8.4
выполнены, и мы можем сделать вывод, что возмущенная (связанная) система
имеет трансверсальные гомоклинические орбиты и, следовательно, подковы
Смейла на каждом уровне энергии h > 2 для достаточно малых (зависящих от
К) значений е.
УПРАЖНЕНИЕ 4.8.9. Выясните судьбу резонансных торов для гамильтониана
(4.8.42), заданных значениями F(q,p) =/г"<2и/ = /° = (l/io)(h - ha) > 0.
УПРАЖНЕНИЕ 4.8.10. Рассмотрите возмущение гамильтониана типа Нёпоп-Heiles
гг,. ¦ ^ + у2 , и\*2+У2) 2 у3 ,/ 2 о
3>
Н(х,у,х,у) =----- 1 ху- - +е(ау -/Зу),
0<е<1; а,/3 = 0(1).
4.8. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы.
283
Докажите, что эта система интегрируема при е = 0 и неинтегрируема при
малых е ф 0. (Подсказка: воспользуйтесь симплектическим преобразованием
qi = ~^=(x + y), q2 = ~^=(x-y), л/2 у2
р1 = ^={х + у), Р2=-^=(х-у).
См. Holmes [1982b] и упражнение 1.8.14.)
Заметим, что теорию двумерных сохраняющих площадь отображений,
обсуждавшуюся в данном разделе, можно непосредственно применять к
гамильтоновым системам с периодическим возмущением вида
HE{q,p,t) = F(q,p) + sH1(q,p,t). (4.8.49)
Уравнение Дуффинга, рассматривавшееся в разделах 4.5^1.6, принимает такую
форму, когда коэффициент вязкого трения <5 полагается равным нулю.
Уменьшая <5 при фиксированных у, и> > 0, мы приближаемся к гамильтонову
пределу, а соответствующие бифуркации (см. рисунок 4.6.3), в результате
которых создаются счетные множества периодических и гомоклинических
орбит, следует рассматривать как ступени в создании гомоклинического
сплетения и стохастических слоев, изображенных на рисунке 4.8.3.
В заключение отметим, что теоремы 4.8.3-4.8.4 имеют многомерные аналоги,
относящиеся к гамильтоновым системам с п степенями свободы (см. Holmes,
Marsden [1982а,b]), и что Gruendler [1982, 1985] получил также
многомерное обобщение теории Мельникова. В действительности, в
определенных случаях теория Мельникова применима к исследованию
возмущений бесконечномерных гамильтоновых эволюционных уравнений,
возникающих из уравнений в частных производных. Holmes, Marsden [1981]
провели анализ некоторых таких ситуаций с примером из механики,
являющимся, по существу, бесконечномерным обобщением уравнения Дуффинга,
описывающего вынужденные демпфированные колебания непрерывной балки,
подверженной продольной нагрузке, рассмотренные в разделе 2.2. Кроме
того, Holmes [1981b] применил эти методы к уравнению в частных
производных типа синус Гордона
(Ptt ~ (Рхх + bin ср = -ecpt с зависящими от времени граничными условиями
фх{ ОД) = еН, фх{ М) = е{Н +
Глава 5
Гиперболические множества, символическая динамика и странные аттракторы
5.0. Введение
Решения обыкновенных дифференциальных уравнений могут иметь "блуждающую"
зависимость от времени, которая представляется в некотором смысле
