Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
невозмущенная система гамильтонова, т. е. /i = dH/dv, /2 = -dH/du.
Здесь f(x) - гамильтоново векторное поле, определенное на плоскости R2
1 Впервые метод Мельникова для уравнений типа Дуффинга был применен
Морозовым [8]. - Прим. ред.
234
Глава 4
(Негамильтонов случай рассмотрен Мельниковым [1963] и Holmes [1980b], см.
упражнение 4.5.1.) В общем случае, мы ограничимся рассмотрением
ограниченной области D С R2 фазового пространства. Наши особые допущения
о невозмущенном потоке таковы:
А1 При е = 0 система (4.5.1) обладает орбитой q°(t), гомоклинической к
гиперболической седловой точке ро.
А2 Положим Г° = {g°(i) | t <G R} П {ро}- Внутренность Г° заполнена
непрерывным семейством периодических орбит qa(t), а ? (-1,0). Полагая
d(x, Г°) = inf \х - q\, имеем lim sup d(qa(t), Г°) = 0.
ggr° a^0teR
АЗ Пусть ha = H{qa(t)), a Ta - период орбиты qa(t). Тогда Ta -
дифференцируемая функция от ha, причем внутри Г° имеем dTa/dha > 0.
Заметим, что из А2 и АЗ следует, что Та монотонно стремится к бес-
конености при а -а- 0. Ситуация иллюстрируется рисунком 4.5.1.
Рис. 4.5.1. Невозмущенная система.
Многие из последующих результатов справедливы при меньших ограничениях. В
частности, в данном разделе нам потребуется лишь А1. Мы будем намечать
основные идеи доказательств, но опускать некоторые детали. Последние
можно найти в Greenspan [1981].
Как в разделе 4.1, определим отображение Пуанкаре Р|°: ?4° -> ?4°, где
?4° = {(x,t) | t = to ? [0,Г]} С М2 х S1 - глобальное сечение в момент to
для надстроенного автономного потока (4.5.1). Заметим, что в дальнейшем
нам потребуется изменить "момент сечения" to-
4.5. Возмущения плоских гомоклинических орбит
235
Из предположения А1 сразу следует, что невозмущенное отображение Пуанкаре
Pq" имеет гиперболическую седловую точку ро, а замкнутая кривая Г° =
Wu(po) П W8(po) заполнена нетрансверсальными гомокли-ническими точками
для Pq° (здесь нулевой нижний индекс означает, что в (4.5.1) положено ? =
0). Мы ожидаем, что эта сильно вырожденная структура разрушается под
действием возмущений eg(x,t), в результате, быть может, рождаются
трансверсальные гомоклинические орбиты или не возникает никаких
гомоклинических точек. Целью данного раздела является развитие метода,
позволяющего определить, что происходит в конкретных случаях. В
частности, этот метод позволит нам доказать существование трансверсальных
гомоклинических точек и гомоклинических бифуркаций для важных физических
примеров, а затем, используя результаты главы 5, доказать наличие подков
и хаотических движений. Он является одним из немногих аналитических
методов, пригодных для обнаружения и изучения хаотических движений.
Начнем с двух основных результатов, касающихся возмущений.
Лемма 4.5Л. При сделанных выше предположениях, для достаточно малых е
система (4.5.1) имеет единственную гиперболическую орбиту 7e(t) = Ро +
0(e). Соответственно, отображение Пуанкаре Р|° имеет единственную
гиперболическую седловую точку р(? = ро + 0(e).
Доказательство. Данный результат непосредственно следует из теоремы о
неявной функции: из сделанных предположений следует, что спектр
отображения DPq°(j}0) не содержит единицы, следовательно, отображение id-
DPq°(po) обратимо, и существует гладкая кривая неподвижных точек (pi0, е)
в пространстве (х, е), проходящая через (ро, 0). ¦
Лемма 4.5.2. Локальные устойчивое и неустойчивое многообразия Wioc(7e)'
^1ос(7е) &ля возмущенной периодической орбиты Сг-близки к соответствующим
многообразиям невозмущенной периодической орбиты ро х S1. Кроме того,
орбиты qse(t, to), q?(t, to), лежащие на Wfoc(y?), Wi"c(7e) и имеющие
базу на Е4°, допускают следующие равномерные оценки в указанных
интервалах'.
qs?(t,to) = q0(t-to)+eql(t,to) + 0(e2), t ? [t0, оо);
Qe(Mo) = q°(t - to) +?qi(t,t0) + 0(e2), t G [-oo,t0).
Доказательство. Существование возмущенных многообразий следует из теории
инвариантных многообразий (см. Nitecki [1971], Hartman [1973] или Hirsch
et al. [1977]). Как при доказательстве теоремы об усреднении,
236
Глава 4
зафиксируем ^-окрестность (0 ^ е " v <С 1) Uv точки ро, внутри которой
локальные возмущенные многообразия и их касательные пространства е-близки
к соответствующим многообразиям и пространствам невозмущенного потока
(или отображения). Стандартная оценка Гронуолла показывает, что
возмущенные орбиты, начинающиеся в пределах 0(e) от точки д°(0), остаются
в пределах 0(e) от q°(t-to) в течение конечного времени, поэтому имеется
возможность пройти вдоль любой такой орбиты из произвольной точки,
лежащей на Г° вблизи q°(0) вне Uv, до границы области Uv, пересекаемой в
некоторый момент t = t\. Внутри Uv поведение орбиты q8, лежащей на
Ws{7е), подчиняется экспоненциальному сжатию, определяемому линейной
системой. Кроме того, как следует из теории возмущений инвариантных
многообразий,
\qs?{h,tо) - q°(ti -t0) = 0(e),
поскольку возмущенное многообразие Сг-близко к невозмущенному. Далее
непосредственные оценки показывают, что
