Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
+ 0(e3) d= ef(y) + e2fi(y, t, e), (4.1.8)
что и требовалось.
Для доказательства утверждения (i) используем один из вариантов леммы
Гронуолла:
Лемма 4.1.2 (Coddington, Levinson [1955], с. 37). Если функции u,v и с
неотрицательны на отрезке [0, t], причем c(t) дифференцируема и выполнено
неравенство
то
о
t t t
v(t) ^c(0)exp J u(s)ds + J c'(s) exp J u(t)<1t
0 0 s
ds.
t
Для доказательства этой леммы надо положить R(t) = J u(s)v(s) ds и
о
показать, что R' - uR ^ ис. Сформулированный результат получается путем
интегрирования данного дифференциального неравенства и некоторых
преобразований, включающих интегрирование по частям.
216
Глава 4
Рассмотрим теперь уравнения (4.1.2) и (4.1.3). Интегрируя их и вычитая
одно из другого, имеем
t t
yE(t) - y(t) = уЕ0 - у0 + ? J J{ye{s))-J{y{s)) ds + e2 J f1(yE(s),s,e)ds,
0 0 где y?(t) - решение уравнения (4.1.3) с базой в у?0. Обозначим у? - у
= = С, L - константу Липшица для / и С - максимальное значение /ь тогда
данное равенство примет вид
t
ICWK 1С(0)|+еГ j \((s)\ds + ?2Ct. (4.1.9)
О
Применяя лемму Гронуолла, где c(t) = |С(0)| + s2Ct и u(s) = sL, получим
t
+ (4.1..о)
о
Таким образом, если \у?о - уо\ = 0(e), приходим к выводу, что
|y?(i) -
- y(t)| = 0(s) для t G [0, l/sL\. Наконец, ввиду соотношения (4.1.5),
имеем
Ix{t) - yE{t)I = ew(yE,t, e) = 0(e), откуда, вследствие неравенства
треугольника
Ix{t) - y{t)I < \x(t) - yE{t)I + IyE(t) - y{t)I, получаем желаемый
результат.
Для доказательства (ii) рассмотрим отображения Пуанкаре Pq,P?,
ассоциированные с системами (4.1.2) и (4.1.3). Перепишем эти системы в
виде
у = е7(у); 0 = 1, (4.1.11)
У = ?f(y) + e2f1(y,0,e); 0 = 1, (4.1.12)
где (у, 0) ? М" х S1, a S1 = М/Т - окружность длины Т, и определим
глобальное сечение Е = {(у,0) \ 0 = 0}. Отображения Пуанкаре1 Ро: U -> Е,
Ре: U -> Е для (4.1.11), (4.1.12) (здесь U СЕ- некоторое открытое
множество) определим обычным образом: как отображения первого возврата
'Индекс "0" в обозначении Ро свидетельствует о том, что отбрасывается
член ()(=). а не о том, что в (4.1.11) г = 0. Такие обозначения Ро для
отображения с точностью О(е) и РЕ для полного отображения будут
использоваться в данном и трех следующих разделах.
4.1. Усреднение и отображения Пуанкаре
217
или отображения за время Т. Заметим, что Р? и Ро отличаются на величину
порядка ?2, поскольку Т фиксировано и не зависит от е. Если р0 -
гиперболическая неподвижная точка для (4.1.2), то она является
гиперболической неодвижной точкой и для DPq{po), так как DPq{po) =
expsTDf(p). Следовательно, отображение TDf(po) = lim (1 / s)[exp sT D f
(р) - id] обра-
e^O
тимо. Поскольку отображения Pe и P0 отличаются на величину порядка е2,
получаем, что и lim(l/?)[Z?Pe(p0) - id] = TDf(p0). Из теоремы о неявной
функции следует, что нули отображения (l/s)[DPe(po) - id] = TDf(po)
образуют некоторую гладкую кривую (ре,е) в пространстве R" х М. Здесь ре
- неподвижные точки Ре, а собственные значения матрицы DPe(pe) отличаются
от собственных значений DP0(p0) на величину порядка е2, так как р? = р0 +
0(e) и DPe{pe) = exp{sT(Df(pe) + e2Df1(p?))] = = exp[sTDf (po)\ + 0(s2).
Таким образом, система (4.1.12) имеет периодическую орбиту 7е, отдаленную
от ро на величину порядка е, а в силу замены (4.1.5), уравнение (4.1.1)
обладает аналогичной орбитой.
Заметим, что все, что требуется для существования периодической орбиты у
(4.1.1), - это отсутствие собственных значений, равных единице, в спектре
матрицы DP0(p0). Однако типы устойчивости точки Р0 и орбиты 7е могут не
совпадать, если хотя бы одно собственное значение DP0(po) лежит на
единичной окружности.
Для доказательства (iii) заметим, что (4.1.2) имеет гиперболическую
седловую точку ро и рассмотрим решения y(t) е W8{po) и соответствующие
решения y?(t) е W8 полной системы (4.1.3). Случаи, в которых ро является
источником или стоком и Ws заменяется на И " , рассматриваются
аналогично. Доказательство разделяется на две части: внешняя область, в
которой усредненное векторное поле sf(y) велико по сравнению с оставшимся
членом s2fi(y, t), и внутренняя область, в которой "возмущения" е2Д и ef
имеют одинаковый порядок. Более подробное изложение можно найти в
Sanders, Verhulst [1982]. Зафиксируем ^-окрестность Us точки р0 таким
образом, что вне этой окрестности имеем \ f{y)\ \ fi(y,t,e)\. Как и
выше,
стандартные оценки Гронуолла показывают, что \у? - уо\ = 0(e) вне Us на
временах порядка 1/е. С другой стороны, внутри 11л (локальная) теорема об
устойчивом многообразии гарантирует, что устойчивое многообразие WjoC(7e)
является е-близким в классе Сг к Wj*c(po) х [О, Т]. Кроме того, на
многообразиях W1*c(7,) и W/Oc(po) решения стягиваются к 7, и кр0
соответственно, при этом сжатие определяется экспоненциальным членом вида
e~At. Используя этот факт, мы можем доказать, что если у? и уо при входе
в Us отличаются на величину 0(e), то они сохранят близость ()(::) во все
последующее время, см. рисунок 4.1.1. Собирая вместе эти две оценки и
