Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
используя преобразование (4.1.5), получим требуемый результат. ¦
218
Глава 4
Рис. 4.1.1. Правильность усреднения на полубесконечных временных
интервалах.
Заметим, что Sanders [1980] и Murdock, Robinson [1980] (ср. Robinson
[1981b]) привели доказательства части (iii) данной теоремы. При
доказательстве этой части мы пользуемся гладкой зависимостью (локальных)
инвариантных многообразий от параметров. Таким образом, утверждение (iii)
является также прямым следствием из теоремы о "глобальных" инвариантных
многообразиях (см. Hirsch et al. [1977], теорема 4.1).
4.2. Примеры усреднения
Пример 1. Рассмотрим скалярную систему
± = exsin 2t. (4-2.1)
Здесь f(x, t, е) = f(x) + f(x, t, e) = x/2 - (x/2) cos 21, и мы имеем
dw = _l C0S2t dt 2 '
или
w = - | sin 21. (4.2.2)
Заметим, что независящий от времени член, который может входить в
первообразную, обычно полагается равным нулю. По формуле (4.1.8),
преобразованная система такова:
у = ?\+?2[(к\~\ cos2t) Нsin2t) " Нsin2t) (I
¦0(6%
ИЛИ
у = е| + s2Jq sin4? + 0(s3). (4.2.3)
4.2. Примеры усреднения
219
Здесь автономное усредненное уравнение имеет простой вид:
у = с|. (4.2.4)
Нетрудно найти точное решение уравнения (4.2.1) с начальным условием ж(0)
= хо-
x{t) = a;oee((t/2)"sin(2t)/4). (4.2.5)
Сравнивая эту функцию с решением усредненного уравнения (4.2.4)
y(t) = y0eEt/\ (4.2.6)
МЫ видим, что
x(t) - y(t) = e?t/2 [|ж0 -уо\- ех0 sin(2t)/4 + 0(е2)], (4.2.7)
что соответствует выводу (i) теоремы. Здесь гиперболический источник у =
0 системы (4.2.4) соответствует тривиальной гиперболической периодической
орбите х = 0 системы (4.2.1), а полагая в (4.2.5)-(4.2.7) t -> -оо, мы
получим x(t), у{t) -> 0, откуда \x{t) - y(t)\ -> 0 в соответствии с
утверждениями (ii) и (iii).
УПРАЖНЕНИЕ 4.2.1. Исследуйте систему ж = -еж cos t методом усреднения.
Имеет ли она гиперболическое предельное множество? Сравните точное и
усредненное решения.
УПРАЖНЕНИЕ 4.2.2. Повторите анализ методом усреднения для системы ж = =
е( -ж + cos2?). В частности, проверьте справедливость утверждений (ii) и
(iii) теоремы.
УПРАЖНЕНИЕ 4.2.3. Исследуйте нелинейные системы
/ 2 \ • 2 ,
ж = е(х - х ) sin t
и
ж = е(х sin21 - х2/2) методом усреднения. Что вы можете сказать об их
решениях?
Пример 2. (Слабо нелинейные вынужденные колебания.) Многие слабо
нелинейные колебательные системы описываются уравнением второго порядка
вида
х + lOqX = sf(x, х, t), (4.2.8)
где функция / имеет период Т по t. В частности, если / синусоидальна с
частотой со " ксоо, то мы имеем систему, близкую к резонансу порядка к. В
такой ситуации для отыскания почти периодического решения
220
Глава 4
с частотой и/к удобно воспользоваться обратимым преобразованием Ван дер
Поля, приводящим (4.2.8) к виду (4.1.1), допускающему последующее
усреднение. Положим
А
А-1 =
А
cos.f
Sill | у
-?cos
cos(f
i"(f
-!¦"(?
(4.2.9)
тогда (4.2.8) примет вид
J2 - k2LJn
к2
LJ2 - fc2CJn
x + sf{x, x, f)J ,
k2 jX + sf{x,X,t) ]cOs(y),
(4.2.10)
где x, x можно записать как функции от и, v и t при помощи (4.2.9). Если
со2 - k2uiQ = 0(е), то система (4.2.10) имеет надлежащую форму для
усреднения.
В качестве конкретного примера возьмем стандартное уравнение Дуффинга,
включенное в большинство учебников по нелинейным колебаниям:
х + uJqX = e[^fcosut - дх - ах3],
(4.2.11)
где cJq - cj2 = eQ, т. е. мы находимся вблизи резонанса первого порядка.
Полагая в (4.2.9) к = 1, получим преобразованную систему
й = ^[Щи cos сot - v sincjt) - u>S(u sineot + v cos ut)+ + a(u cosuit - v
sincjt)3 - yeosejt] sincjt, ii = ^j[Q,(ucosut - usincjt) - ud(usinut +
vcoslot)+
(4.2.12)
+ a(ucosut - usinwf)3 - ycoscot\ cosuit.
Усредняя (4.2.12) по промежутку одного периода T = 2ir/u>, получим
V =
?
2cj
?
2cj
-todu - flv ^(и2 + г>2)г> = efi(u, v),
itu - udv + ^{u2 + V2)u - 7 =f?/2(w, v),
(4.2.13)
4.2. Примеры усреднения
221
или, в полярных координатах г = \Jи2 + v2, ф = arctg(v/u):
[-uiSr - 7 sin ф]
fir + ^r3 - 7 cos ф .
(4.2.14)
гф
2lo l
К точно такому же результату приводят методы теории возмущений, если их
применить к членам 0(e) (см. Nayfeh, Mook [1979], разд. 4.1.1). Вспомнив
преобразование
мы видим, что медленно меняющиеся амплитуда г и фаза ф решения системы
(4.2.11) задаются в первом порядке как решения системы (4.2.14). Поэтому
важно найти равновесные решения или неподвижные точки системы (4.2.14),
которые, в силу теоремы об усреднении и преобразования (4.2.9),
соответствуют стационарным, почти синусоидальным решениям исходного
уравнения. Зафиксировав a, S и 7 и построив для неподвижных точек (г, ф)
системы (4.2.14) графики зависимости координат от ft или от ui/uio, мы
получим частотную характеристику, известную инженерам: см. рисунок 4.2.1.
Мы рассмотрим явление "скачкообразной" бифуркации ниже. Более подробно
уравнение Дуффинга рассмотрено в Nayfeh, Mook [1979], а соответствующая
бифуркация - в Holmes, Rand [1976]1. Типы устойчивости для ветвей
стационарных решений, показанные на рисунке 4.2.1, получены путем
