Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
рассмотрения собственных значений линеаризованных усредненных уравнений,
и мы приглашаем читателя сделать проверку.
На рисунке 4.2.2 показаны фазовые портреты систем (4.2.13)-(4.2.14),
построенные путем численного интегрирования для таких значений
параметров, при которых сосуществуют три гиперболических неподвижных
точки. На рис. 4.2.3(a) изображены устойчивое и неустойчивое многообразия
седловой точки, преобразованные при помощи обращающего ориентацию
преобразования (4.2.9) (к = 1), примененного при t = 0: х = и, х = = -
uiv. По теореме 4.1.1, эти многообразия должны аппроксимировать
устойчивое и неустойчивое многообразия отображения Пуанкаре полной
системы (4.2.11), изображенные на рисунке 4.2.3(b) и также построенные
численно. Заметим, что приближение достаточно хорошее, однако оно
ухудшается с ростом разности между ш и ц (т. е. с ростом Q). Дальнейшие
примеры содержатся в Fiala [1976].
X = u(t) COSU)t - v(t) sinurt = r(t) cos(cl't + Ф(Ь)),
1См. также Морозов [1973, 1976].
222
Глава 4
ю/ю о
Рис. 4.2.1. Амплитудно-частотная характеристика для уравнения Дуффинга:
еа - = 0,05, е<5 = 0,2, ?7 = 2,5.
УПРАЖНЕНИЕ 4.2.4. Выполните усреднение для "оригинального" уравнения Ван
дер Поля
X + (х2 - 1)± + X = Q7 COS Lot,
где 1 - и2 - аа - О(а) <С 1. Покажите, что усредненные уравнения
принимают вид (2.1.13), где /3 = cry. Проверьте столько утверждений,
сделанных в разделе 2.1, сколько сможете.
Упражнение 4.2.5. Рассмотрите уравнение (4.2.1) для ?7 - 7 - 0(1) и и> ~
Зшо и воспользуйтесь методом усреднения для изучения субгармоник третьего
порядка. В этом случае преобразование (4.2.9) следует заменить на такое
преобразование
(и\ х + В cos (uit - ф)Л
- и)В sin(wf - ф)) '
4.2. Примеры усреднения
223
Рис. 4.2.2. Фазовые портреты уравнения (4.2.13): еа = 0,05, е5 = 0,2, шо
- 1, ед = 2,5. (а) ш - 1,5; (Ь) ш - 1,65.
224
Глава 4
Рис. 4.2.3. Отображение Пуанкаре для уравнения Дуффинга по сравнению с
отображением потока усредненного уравнения в момент времени Т: еа = 0,05,
е<5 = 0,2, сдо = 1, ?7 = 2,5, ш = 1,5; (а) инвариантные многообразия
седловой точки для усредненного уравнения (4.2.13); (Ь) инвариантные
многообразия седловой точки для отображения Пуанкаре.
4.2. Примеры усреднения
225
где
А =
(4.2.15)
Обратите внимание на необходимость включения некоторой компоненты в
частоту возбуждения ш, а его амплитуда В и фаза ф определяются (в первом
порядке) из решения уравнения (4.2.11) для первой гармоники. Полагая х =
В cos(ojt - - ф) + О(е) и подставляя в (4.2.11), получим В яз 7/(^0 -
^2), ф ~ 0. (Это похоже на решение для линейного осциллятора: почему?)
Остальное предлагаем сделать самостоятельно, при необходимости
обратившись за помощью к Hale [1969, стр. 202-204]. Другой пример
приведен в Holmes, Holmes [1981].
Упражнение 4.2.6. Повторите упражнение 4.2.5 для еу = 0(e), как ранее.
Можно ли найти в усредненном уравнении субгармоники первого порядка?
Заметьте, что преобразование (4.2.15) переводит решение вида
в (й, v). Таким образом, решение с почти синусоидальной фундаментальной
компонентой с частотой ui и субгармонической компонентой с частотой ш/3
под действием этого преобразования переходит в почти постоянную, что в
главном повторяет поведение почти синусоидального (одночастотного)
решения под действием преобразования (4.2.9). В каждом случае это
преобразование выбирается не только из соображений достичь нужной для
усреднения формы, но также и в свете ожидаемой нами формы решений. Данный
серьезный недостаток: необходимость с самого начала знать, что ищешь, -
присущ большинству методов теории возмущений.
Читателю следует взять на заметку, что субгармоника периода кТ,
соответствующая циклу периода к для отображения Пуанкаре, отвечает
множеству к неподвижных точек для усредненного уравнения. Усреднение
проводится по наименьшему общему периоду кТ, таким образом, отображение
потока за время кТ для усредненной системы аппроксимирует истинное
отображение за время кТ для исходной системы; отображение Пуанкаре
возводится в степень к.
В заключение заметим, что в некоторых случаях требуется проводить
усреднение второго или даже более высокого порядка, если усреднение
первого порядка не приводит к окончательным результатам. В этом случае
вычисляется среднее значение члена второго порядка:
x(t) = и COS
- v sin ( ^ j - В cos(ujt - ф)
(4.2.16)
т
7i(z) = -f J fi(z,t,0)dt 0
226
Глава 4
и, после второго преобразования у = z + e2w(z,t,e), составляется
усредненное уравнение _ _
z = sf(z)+s2f1(z)+0(s3).
Дальнейшие подробности и примеры можно найти в Sanders, Verhulst [1982],
и Holmes, Holmes [1981], один из примеров приведен ниже в разделе 4.7.
Кроме того, Chow, Hale [1982] показали, как удобно проводить усреднение
высших порядков, используя метод рядов Ли, подчеркнув тем самым
фундаментальную связь между усреднением и нормальными формами.
Дополнительные подробности и примеры содержатся в Cushman и др. [1980,
