Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
kl(Mo) -q°{t-t0) \ = 0(e)
для всех t € (t\, оо). Обращая время, можно получить аналогичный
результат для q?(y,to) (см- рисунок 4.1.1). ¦
Sanders [1980,1982] первым разработал детали построения асимптотик для
решений на возмущенных многообразиях.
Из данной леммы следует, что решения, лежащие на устойчивом многообразии,
для t ^ 0 равномерно аппроксимируются решениями qf первого вариационного
уравнения:
q\(t,t0) = Df(q°(t - t0))ql(t,t0) + g(q°(t - t0),t). (4.5.3)
Аналогичное выражение справедливо для q^(t, t0) при t < t0. Таким
образом, мы можем использовать регулярную теорию приближенных решений на
устойчивом и неустойчивом многообразиях возмущенной системы. Отметим
присутствие в явном виде начального момента to, обусловленное
неинвариантностью решений возмущенной системы относительно произвольных
сдвигов времени (система (4.5.1) неавтономна при е ^ 0).
Определим теперь разделение многообразий Wu (рь°), Ws (рь°) на сечении
?4° в точке д°(0) как
d(to) = qe(to) - q8s(t0), (4.5.4)
где q?(t0) d= q?(to, to), qi(to) d=f q8(to, h) - единственные точки на
Wu(pt°), Ws(pt?°), "ближайшие" к р(? и лежащие на нормали
f±(q0m = (-f2(q°mji(q0(mT
4.5. Возмущения плоских гомоклинических орбит
237
W"(p[°)
q0(Q)+eq"(t0)
/V(0))
w;(P°)
Рис. 4.5.2. Возмущенные многообразия и функция расстояния.
к Г° в точке д°(0). Как следует из ^-близости этих многообразий к Г° и
леммы 4.5.2,
_/(9O(0))A(g3'(io)-?!(io)) р,2.
("' Шад ' '¦ ( '
Здесь внешнее произведение определяется как a A b = aj&2 - a^bi, и / A
(q\ - ql) представляет собой проекцию - q\ на f-1, см. рисунок 4.5.2.
Наконец, определим функцию Мельникова
ОО
M(to) = J Ag{q°(t-t0),t)dt. (4.5.6)
- ОО
Теорема 4.5.3. Если функция M(to) имеет простые нули и не зависит от е,
то Wu(pltt) и пересекаются трансверсально. Если значе-
ния M(to) отделены от нуля, то Wu(p^) П Ws(pt?°) = 0.
Замечание. Важность данного результата обусловлена возможностью проверки
существования трансверсальных гомоклинических орбит для конкретных
дифференциальных уравнений. Как будет показано в главе 5, из присутствия
таких орбит, в силу теоремы Смейла-Биркгофа, следует, что некоторая
итерация Р|° отображения Пуанкаре имеет инвариантное гиперболическое
множество - подкову Смейла. Как было отмечено в разделе 2.4, подкова
содержит счетное множество (неустойчивых) периодических орбит, несчетное
множество ограниченных непериодических орбит и плотную орбиту.
Чувствительность к выбору начальных условий, которую она придает потоку
для данного дифференциального уравнения, представляет большой
практический интерес.
238
Глава 4
Доказательство. Рассмотрим зависящую от времени функцию расстояния
Д(Мо) = f{q°{t-t0))/\(qi (Mo)-3i(Mo))=f Au(t,t0)-As(t,t0) (4.5.7)
и заметим, что, в силу (4.5.5), d(t0) = sA(to,to)/\f(q°(0) \ + 0(е2).
Вычислим производную
J;As(Mo) = Df(q0(t-t0))q°(t-to) Aq{(t,t0) + f(q°(t-t0)) Aq{(t,t0).
Отсюда при учете соотношения q° = f(q°) и формулы (4.5.3) получаем
As = Df{q°)f{q°) A q{ + f(q°) A (?>/(<Z°)<Zi + g(q°, tj) =
= tr Df(q0)As+f(q0)Ag(q°,t). (4.5.8)
Так как поток / имеет гамильтонову форму, tr Df = 0, и интегрирование
(4.5.8) в пределах от to до оо дает
ОО
ДДооДо) - As(t0,t0) = I f(q°(t-t0)) Ag(q°(t-t0),t)dt. (4.5.9)
Однако As(oo, t0) = lim f(q°(t - to)) A q* {t, to), a lim q°(t-to) = Po,
no-
t-^OO t-^OO
этому lim f(q°(t-to)) = 0, причем q{(t, to) ограничено в силу леммы
4.5.2.
t->0О
Таким образом, Д(r)(оо, to) = 0, и (4.5.9) дает нам выражение для As(tQ,
to). Аналогичные вычисления дают
*0
Av{t0,t0)= J f{q°{t-t0)) Ag{q°(t-t0),t)dt. (4.5.10)
Складывая (4.5.9) и (4.5.10), приходим при учете (4.5.5) к соотношению
rf(*o) = +0(?2). (4.5.11)
Поскольку |/(д°(0))| = 0(1), величина M(to) может служить удобной мерой
разделения многообразий в точке q° (0) на сечении ?4°. Напомним, что
вектор /±(д°(0)) и его базовая точка д°(0) зафиксированы на
4.5. Возмущения плоских гомоклинических орбит
239
сечении Е4° и что при изменении момента t° сечение Е4° заметает
пространство R2 х S1. Следовательно, если M(t°) колеблется около нуля с
максимумом и минимумом, не зависящими от е, то, согласно (4.5.4)-(4.5.5),
qu(to) и qs(t0) обязаны сменить их ориентации относительно fJ~(q°(0)) при
изменении to. Мы требуем, чтобы М не зависело от е, для того чтобы иметь
возможность выбрать е достаточно малым так, чтобы ошибка 0(е2) в (4.5.11)
подавлялась членом eM/\f(q°)\. (В разделе 4.7 мы увидим, что в некоторых
случаях М может зависеть от е, и это приводит к значительным трудностям.)
Отсюда следует, что существует момент to = т такой, что q*(r) = = (т),
и мы имеем гомоклиническую точку q е IVs (pi) П Wu (pi). Однако
все отображения Пуанкаре Р4° эквивалентны, поэтому W8(pla) и Wu(pt?a)
должны пересекаться при всех to ? [0, Г]. Кроме того, если нули простые
(dM/dto ^ 0), то отсюда следует, что пересечения трансверсальны.
Напротив, если нулей не существует вовсе, то q?(to) и q8(to) сохраняют
постоянную ориентацию, следовательно, многообразия не пересекаются.
