Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
1982, 1983], Churchill et al. [1982], и Deprit [1982]'.
4.3. Усреднение и локальные бифуркации
Допустим, что имеется однопараметрическое семейство систем, аналогичных
(4.1.1):
х = t,e); у е R, (4.3.1)
а также соответствующее семейство усредненных систем
У = е/Ду), (4.3.2)
причем при изменении у (4.3.2) испытывает бифуркацию. Поставим вопрос:
испытывает ли такую же бифуркацию семейство (4.3.1)? Для простых
бифуркаций коразмерности единица ответ положителен (с некоторыми
ограничениями?).
Теорема 4.3.1. Если при у = уо семейство (4.3.2) испытывает бифуркации
типа "седло -узел" или Хопфа, то для значений у, близких к уо, и
достаточно малых е отображение Пуанкаре для (4.3.1) испытывает бифуркацию
того же типа.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зафиксируем малое значение е > 0. Вновь воспользуемся е-
близостью отображений Пуанкаре, соответствующих системам (4.3.2) и
(4.3.1). В случае "седло-узла" бифуркационные уравнения выглядят так (см.
доказательство теоремы 4.1.1):
i(id -Р$ ){у) = 0, \{Id-Pq )(x) = 0. (4.3.3а, Ъ)
По сделанному предположению, усредненная система имеет пару неподвижных
точек у+, у_, которые сливаются при у = уо, перемещаясь в пространстве
(у, у) по гладкой (локально параболической) дуге (рис. 4.3.1). Существует
локальная замена координат в окрестности точки (У± (Mo); А*о) ? R" х К,
приводящая эти две ветви к виду у±(у) = = (±с^/уо - у, 0) е М х R"-1 =
М". Поскольку и Pq отличаются
4.3. Усреднение и локальные бифуркации
227
Рис. 4.3.1. Бифуркация типа "седло-узел".
на величину порядка е2, то в той же системе координат отображение /f
имеет две ветви положений равновесия х±(у) = (Рс^/уо - у + 0(e), 0(e), а
поскольку матрицы DPf(x±(y)) и DPq (у±(у)) также близки, то устойчивость
по линейному приближению для обеих систем одинакова.
В случае бифуркации Хопфа заметим, что поскольку P(f обладает (локально
единственной) кривой равновесий у (у), причем спектр DPq (у(у)) не
содержит единицу, отображение P.f также обладает кривой равновесий х(у) =
у(у) + 0(e). Кроме того, спектры операторов РР^(у(у)) и DPf(x(y)) также
близки, поэтому пара собственных значений последней необходимо пересекает
единичную окружность вблизи у = уо. Остается проверить условия отсутствия
резонансов (SH1 в теореме 3.5.2). (Очевидно, что тип устойчивости в
бифуркациях (SH2, SH3) сохраняется при малых возмущениях.) Допустим, что
интересующие нас собственные значения матрицы Df (у(уо)) равны Piui.
Тогда собственные значения отображения DPq0 (у(уо)) равны е±г?шТ, а
собственные значения возмущенного линеаризованного отображения DPfe
(х(у?)) в его близлежащей точке бифуркации имеют вид ег(±?шТ+°Р )).
Следовательно, условие нерезонансности ртешТ ф -у для m _ 2, 3,
4 удовлетворяется для достаточно малых е
и фиксированном Т. ¦
Данный результат можно применить к примерам Дуффинга и Ван дер Поля из
предыдущего раздела. В частности, отсюда следует, что бифуркации типа
"седло-узел", имеющие место в точках "скачкообразного резонанса" (рис.
4.2.1) для усредненного уравнения Дуффинга, соответствуют бифуркациям
типа "седло-узел" для периодических орбит полной системы. Кроме того,
бифуркация Хопфа, в результате которой рождается притягивающая
инвариантная окружность, имеет место для отображения Пуанкаре,
соответствующего уравнению Ван дер Поля (см. раздел 2.1).
Можно сделать и обобщения на многопараметрические системы, а также на
случай более сложных бифуркаций. Например, в пространстве Q. у
1См. также Боголюбов, Митропольский [11]. -Прим. ред.
228
Глава 4
существует точка, в которой система Дуффинга из раздела 4.2 имеет
вырожденную неподвижную точку, которая расщепляется на одну, две или три
точки - как в возмущенной бифуркации типа "вилка". В этой точке две ветви
(частотно-амплитудной функции), изображенной на рис. 4.2.1, сливаются в
точке, где касательная вертикальна. Отсюда следует, что в некоторой
близлежащей точке полная система имеет бифуркацию, в которой сливаются
три периодические орбиты. Тем не менее, метод усреднения непригоден для
корректного описания всех таких бифуркаций коразмерности два, прежде
всего, из-за тонких глобальных эффектов, связанных с гомоклинными
орбитами. Эти эффекты обсуждаются в следующем разделе.
4.4. Усреднение, системы Гамильтона и глобальная динамика:
предостерегающие замечания
Как было показано, теорема об усреднении предоставляет метод
аппроксимации истинного отображения Пуанкаре Р?, в основе которого лежит
замена тг-мерного отображения Рф на тг-мерное векторное поле /. Ввиду
этого следует быть осторожным в трактовке результатов. По теореме 4.1.1,
выводы о локальном поведении при такой замене допускают перенос;
например, неподвижные точки / соответствуют периодическим орбитам системы
(4.1.1) и, следовательно, неподвижным (или периодическим) точкам
отображения Ре. Однако глобальная динамика не допускает такого прямого
переноса, поскольку типичные свойства тг-мерных векторных полей и тг-
мерных отображений совершенно различны. Таким образом, обнаружение тех
