Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
поведении решений возмущенной системы и структуре ее неблуждающего
множества.
Усреднение применимо к системам вида
x = ef(x,t), х € R", е <С 1, (4.0.1)
где / имеет по t период Т. В системе такого типа периодическое
возбуждение контрастирует с "медленной" средней эволюцией решений ввиду
малости правой части. В первых четырех разделах будет показано, как слабо
4.1. Усреднение и отображения Пуанкаре
213
нелинейный осциллятор вида
х + lo2x = ef{x, х, t) (4.0.2)
можно привести к стандартной форме (4.0.1) и применить к нему
осреднение. При этом мы, по-существу, имеем дело с
малыми возмущениями
линейного осциллятора х + и2х = 0, представляющего собой интегрируемую
гамильтонову систему.
Затем описывается метод Мельникова [1963] исследования возмущений общей
интегрируемой гамильтоновой системы. Здесь за исходную принимается сильно
нелинейная система
х = f(x), х е К2и, (4.0.3)
а затем к ней добавляются слабые диссипация и возбуждение:
X = f{x) +sg{x,t). (4.0.4)
Хотя в первую очередь нас интересуют двумерные системы с периодическим
возбуждением, результаты метода усреднения приводятся в наиболее общем n-
мерном случае, так как это не приводит к усложнению формулировок. При
изложении метода Мельникова мы ограничиваемся двумерным случаем, хотя
здесь допустимы некоторые n-мерные и даже бесконечномерные обобщения,
обсуждаемые в конце главы. Приведены также элементы теории отображений,
сохраняющих площадь, которые возникают при построении отображений
Пуанкаре для периодических по времени гамильтоновых систем с одной
степенью свободы и независящих от времени систем с двумя степенями
свободы.
4.1. Усреднение и отображения Пуанкаре
Существует много вариантов теоремы об усреднении. В основе нашего
изложения лежат работы Hale [1969, глава 5, теорема 3.2] и Sanders,
Verhulst [1982], в которых содержится весьма полное обсуждение с позиций
асимптотики. Рассмотрим систему вида
х = ef(x,t,e); х G U С К", 0<?<1, (4.1.1)
где функция /: М" xlx М+ класса Сг, г ^ 2, ограничена на ограниченных
множествах и имеет по t период Т > 0. Обычно мы считаем множество U
ограниченным. Соответствующая автономная усредненная система определяется
как
т
y = s± J f(y,t,0)dtd^s'f(y). (4.1.2)
О
В этом случае справедлива следующая
214
Глава 4
Теорема 4.1.1 (теорема об усреднении1). Существует замена переменных х =
у + ew(y, t, е) класса Сг, приводящая (4.1.1) к виду
где fi имеет по t период Т. Кроме того,
(i) если х(?) и y(t) - решения систем (4.1.1) и (4.1.2) с базой в точках
хо, у о соответственно (при t = 0) и \хо~уо\ =0{е), то \x(t)-y{t)\ = =
0(s) на интевале времени t ~ 1/е.
(ii) если ро - гиперболическая неподвижная точка для (4.1.2), то
существует такое ?о > 0, что для всех 0 < е < ео система (4.1.1) обладает
единственной гиперболической периодической орбитой у?(t) = Ро + 0{е) того
же типа устойчивости, что и ро2
(iii) Если xs(t) ? W8{уе) - решение системы (4.1.1), лежащее на
устойчивом многообразии гиперболической периодической орбиты уе (t) = =
Ро + 0(e), a ys(t) ? Ws(po) - решение системы (4.1.2), лежащее на
устойчивом многообразии гиперболической неподвижной точки ро, причем
|ж*(0) - ys(0)| = 0(e), то \xs(t) - ys(t)\ = 0(e) для всех t > 0.
Аналогичный результат имеет место для решений, лежащих на неустойчивых
многообразиях на интервале t ? (-оо,0].
Замечание. Выводы (ii) и (iii) можно обобщить на более сложные
гиперболические множества. В частности, Hale [1969] показал, что если
(4.1.2) имеет гиперболическую замкнутую орбиту Г, то (4.1.1) имеет
гиперболический инвариантный тор. Возможно также обобщение на почти
периодические функции / (Hale [1969]). Из вывода (iii) следует, что
теорему осреднения можно использовать для аппроксимации устойчивого и
неустойчивого многообразий и вообще для изучения глобальной структуры
отображения Пуанкаре для системы (4.1.1), как будет продемонстрировано на
примерах.
Доказательство. Мы наметим доказательства первых двух утверждений,
используя стандартные результаты из теории дифференциальных уравнений.
Что касается третьего утверждения, здесь удобнее воспользоваться идеями
отображений Пуанкаре и инвариантных многообразий. Сначала найдем в явной
форме замену переменных. Разложим функцию / на сумму средней и
осциллирующей частей:
'Это вариант первой теоремы Боголюбова [11], см. также Крылов, Боголюбов
[1957]. - Прим. ред.
27е может быть тривиальной периодической орбитой: т. .- (7) = ро, см.
пример 1 в разде-
У = Sf{y) +?2fl{y,t,?),
(4.1.3)
f(x,t,?) =f(x) +f(x,t,e).
(4.1.4)
ле 4.2.
4.1. Усреднение и отображения Пуанкаре
215
Положим
X = y + ew{y,t,e), (4.1.5)
не выбирая пока функцию w. Дифференцируя (4.1.5) при учете (4.1.1) и
(4.1.4), имеем
[I + sDyw\y = х- = ef(y + ew) + sf(y + ew, t, e) - e|^,
ИЛИ
y = e[I + eDyw] 1 f{y + ew) + f{y + ew, t, e) - ^
(4.1.6)
Раскладывая (4.1.6) по степеням e и выбирая в качестве w первообразную от
/
ff=/M>0), (4.1.7)
получаем
У = е/(у) + ?2 Dyf(y, t, 0)w(y, t, 0) - Dyw{y, t, 0)J(y) + t, 0)
