Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 72

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 199 >> Следующая

случае потоков (см. раздел 3.4). Подробности можно найти в loss, Joseph
[1981] или Wan [1978]. Полагая, что испытывающая бифуркацию система
(суженная на центральное многообразие) имеет вид
cos (с) - sin(c) sin(c) cos (с)
f(x,y) д{х, у)
(3.5.16)
с собственными значениями Л, Л
е±гс, получим
Re
(1 - 2А)А2 1 - А
С11С20
^п|
|^0212 + Re(A?2i),
где
$20 - о [ifхх fyy + ^Уху) + ъ{Ухх Ууу 2/Жу)],
+ fyy) + i{9xx +
С02 - g [{fxx fyy ^Уху) + i{gxx Ууу + 2/яу)], 1
Ь\ 16 [ (fxxx fxyy А Ухху А Уууу) A ДQx
- 9xyy fxxy fyyy )] •
(3.5.17)
В заключение, как обычно, приведем пример. Рассмотрим логистическое
уравнение с запаздыванием (Maynard-Smith [1971], Pounder, Rogers [1980],
Aronson et al. [1980, 1982]):
Fy : (x,y) -> (y, y,y( 1 - x)).
(3.5.18)
Данное отображение имеет неподвижные точки (х, у) = (0,0) и (ж, у) = =
{{у - 1)//ж, (/г -1)//г,). Можно проверить, что при у, > 1 точка (0,0)
будет седловой1. Матрица отображения, линеаризованного в другой,
ненулевой, неподвижной точке, имеет вид
0 1
1-fJ, 1
(3.5.19)
Данное отображение необратимо на прямой у = 0, а одно из собственных
значений в точке (0, 0) равно нулю. Однако такая необратимость не влияет
на наше исследование бифуркации Хопфа, поскольку последняя имеет место
вне прямой у = 0.
210
Глава 3
а собственные значения равны
Ат,2 = ±(1± v^V).
(3.5.20)
При ц > - эти собственные значения будут комплексно сопряженными и
могут быть записаны в следующей форме:
А, Л = (р - 1)е±гс, где tg с = \/4/и - 5.
(3.5.21)
Несложно проверить, что гипотезы (SH1) и (SH2) теоремы 3.5.2 выполнены
при /г = 2, так как при этом А, А = е±г7Г/3 являются корнями шестой
степени из единицы, а
L
Для вычисления а из уравнения (3.5.17) и, тем самым, проверки (SH3)
положим в (3.5.18) /и = 2 и сделаем замены координат
(х,у) = (х - у - i)
-1Д/3 2)S 1 0
У '
0 1 ' л/3/2 1/2
(3.5.22)
переводящие, испытывающее бифуркацию, положение равновесия в начало
координат и приводящие линейную часть к нормальной форме. В новых
переменных отображение (3.5.18) примет вид
' 1/2 -V3/2' 2uv + 2v2
.л/3/2 1/2 _ W- 0
(3.5.23)
а собственные значения равны А, А = 1/2 ± г(л/3/2). Нелинейные члены
квадратичны, и мы имеем
fun = 0, fuv = -2, fvv = -4,
Quu ---- б, Quv б,
Qw б.
Отсюда получаем
$20 - g [4 + 4г] - 2 + 2 > Со2 = |[4 - 4г] = |
= jt-4 + Ог] = -1, 6i = б,
(3.5.24)
(3.5.25)
3.5. Бифуркации отображений и периодических орбит
211
и подстановка в формулу для а дает
а = 7 < 0. (3.5.26)
Поскольку (d/<i/i)(|A(/i)|)At=2 = d = 1 > 0, мы получаем из (3.5.15), что
бифуркация суперкритическая и, следовательно, существует притягивающая
инвариантная замкнутая кривая, окружающая точку (х,у) = ( 1/2, 1/2) для
/г > 2, если величина |/г - 2 достаточно мала.
УПРАЖНЕНИЕ 3.5.7. Покажите, что двухпараметрическое семейство отображений
(;Х,у) -> (у,1ЛУ + (12 - X2) может испытывать бифуркации "седло-узел",
удвоения периода и Хопфа. Постройте бифуркационные множества в
пространстве (/л, да), на которых происходят эти бифуркации, и определите
типы устойчивости. Могут ли иметь место двойные собственные значения?
Что, по вашему мнению, может произойти вблизи таких точек или вблизи
точек, где линеаризованное отображение имеет комплексные собственные
значения, являющиеся корнями третьей или четвертой степеней из единицы?
(Данный пример взят из Whitley [1982].)
Глава 4
Усреднение и возмущения с геометрической точки зрения
В данной главе описаны некоторые классические методы анализа, которые
применимы, в частности, к проблемам нелинейных колебаний. Возможно, эти
методы знакомы читателю, изучавшему нелинейную механику и теорию
возмущений. Однако применяемый геометрический подход и акцент на
получение аппроксимаций для отображений Пуанкаре, по-видимому, менее
известны.
Вначале излагается метод осреднения, открытый Крыловым и Боголюбовым
[1934] и полезный, в частности, для анализа слабо нелинейных проблем или
малых возмущений линейного осциллятора. Оказывается, что при подходящих
условиях данный подход позволяет найти глобальные свойства, выполняющиеся
на неограниченных интервалах времени. Обычно в методах теории возмущений
за исходную точку принимают некоторую интегрируемую систему, решения
которой полностью известны, а затем изучают ее малые возмущения.
Поскольку невозмущенное и возмущенное векторные поля близки, можно также
ожидать близость решений, однако, как мы увидим, обычно это не так ввиду
структурной неустойчивости невозмущенной системы. Мы видели, что
произвольно малые возмущения таких систем могут вызвать радикальные
качественные изменения в структуре решений. Однако эти изменения обычно
сопряжены с предельным, асимптотическим поведением, а на конечных
интервалах времени невозмущенное и возмущенное решения остаются близкими.
Более того, в данной главе будет показано, что указанные результаты о
поведении на конечном интервале времени в совокупности с идеями теории
динамических систем позволяют прийти к выводам об асимптотическом
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed