Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 71

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 199 >> Следующая

соответственно. Допустим, что мы хотим изменить члены разложения степени
к при помощи вещественного преобразования вида
h(z.z) = id+члены степени к.
Поскольку координата 1 образа h комплексно сопряжена с координатой z
образа h, достаточно вычислить координату z образа сопряженного
отображения hfh_1. Если разложение Тейлора образа / по координате z до
степени к имеет вид
f(z,z) = е2ж1вг + /2 + /з + • • • + Rk, (3.5.10)
а координата z функции h(z, z) равна
h(z,z) = z + Pk(z,z), (3.5.11)
то координата z тейлоровского разложения сопряженного отображения hfhr1
описывается формулой
e2mez + /2 + ... + fk + Pk(e2m9z, е-2жгв1) - е2жгвPk(z,z). (3.5.12) Таким
образом, мы можем удалить из fk члены, представимые в виде
Pk(el7riez, e~2viez) - е2ж{вРк{г^). (3.5.13)
Если обозначить выражение (3.5.13) как ad Df(Pk(z, z)), то ad Df
определяет отображение на пространстве векторнозначных однородных
полиномов, которое является линейным и диагонализуемым с собственными
3.5. Бифуркации отображений и периодических орбит
207
функциями (^z>z* 1) и ^ в координатах (z, z). Заметим, что
ad Df = {e^i(2i-k)e _ е2^} fzlz^\ ^
' (3.5.14)
ad Df = (е W-AO* _ е-2^) ^_0 .
Нулевые собственные значения у ad Df имеют место, если (21 - к)в = ±в
(mod 1). Число в иррационально, если к нечетно, а I = (к ± 1)/2. При этом
нулевые собственные векторы имеют вид (zz)1 Q и (zz)1 Q . В вещественных
координатах таким векторам отвечают отображения вида (х2 + + У2)19(х, у),
где д - линейное отображение с матрицей ^ . Следо-
вательно, если в иррационально, то нормальные формы для / аналогичны
нормальным формам, вычисленным для бифуркации Хопфа для потоков. Однако
если в рационально, то имеются дополнительные резонансные члены,
появляющиеся из других решений уравнения (21 - к)в = ±в (mod 1).
Знаменатель числа в определяет наименьшую степень, в которой могут
появится эти члены.
Мы уже встречались со случаями в = 0 ("седло-узел") и в = ^ (удвоение
периода). Кроме того, при в = или в = в нормальную форму войдут члены
степени два и три соответственно. Если в = ±^, то эти члены имеют
комплексную форму z2 ^g^ и z2 , а в случае в = ± | они имеют
вид z3 ^д^ и z3 . Это означает, что бифуркационные структуры,
ассоциированные с неподвижными точками, являющимися корнями третьей и
четвертой степени из единицы, являются особыми. Анализ этих случаев был
проведен Arnold [1977] и Takens [1974Ь]. Если предположить, что Л не
является корнем третьей или четвертой степени из единицы, то возможно
провести общий анализ бифуркации Хопфа для периодических орбит (вторичной
бифуркации Хопфа), и справедливо следующее утверждение.
Теорема 3.5.2. Пусть /м: R2 -> R2 - некоторое однопараметрическое
семейство отображений, имеющее гладкое семейство неподвижных точек x(ji),
в которых собственные значения \(р), А(/т) комплексно сопря-
208
Глава 3
жены. Предположим, что
(SH1) |А(/ло)| = 1, но X* [ро) ф 1 для j =
1, 2, 3,4.
(SH2) |-(|AO,0)|)=d^o.
Тогда существует такая гладкая замена координат h, что выражение для
hf^h-1 в полярных координатах имеет вид
hffj,h^[r, в) = [r[ 1 + d[p - ро) + аг2), в + с + Ъг2)+
+ члены высших порядков. (3.5.15)
[Заметьте: в силу условий (SHI), (SH2), числа с = |arg(A)| и d отличны от
нуля.) Пусть, кроме того,
(SH3) а ^ 0.
Тогда существует двумерная поверхность ? [не обязательно бесконечно
дифференцируемая) в R2 х R, имеющая квадратичное касание с плоскостью R х
{//о} и инвариантная относительно /. Если ? П (R х {р}) состоит более чем
из одной точки, то это множество является простой замкнутой кривой.
Как и в случае потоков, знаки коэффициентов а и Ъ определяют направление
бифуркации и устойчивость рождающихся периодических орбит; с и Ъ дают
асимптотическую информацию о числах вращения, как сказано ниже.
В книге Marsden, McCracken [1976] содержится, в изложении Lanford,
доказательство данной теоремы, принадлежащее Ruell и использующее метод
графических преобразований. Теорема утверждает, что (за исключением
сильнорезонансных случаев А3 = 1 и А4 = 1) на фазовом портрете
отображения /м возникает нечто, похожее на предельные циклы из теоремы
Хопфа. Это "нечто" представляет собой простые замкнутые кривые,
ограничивающие области притяжения или отталкивания некоторой неподвижной
точки. Однако теорема 3.5.2 не позволяет определить динамику на ?. Во
всех своих деталях, последняя проблема весьма сложна, она включает
введение чисел вращения и рассмотрение тонкой проблемы малых
знаменателей. Данные вопросы обсуждаются в разделе 6.2. Здесь мы лишь
укажем, что если в (3.5.15) 6 ^ 0, то можно доказать, что на ? имеется
сложно устроенная комбинация периодических и квазипериодических орбит.
Для изучения такого поведения необходимо исследование глобальных
бифуркаций диффеоморфизмов на окружности.
3.5. Бифуркации отображений и периодических орбит
209
Формула устойчивости, дающая выражение коэффициента а в нормальной форме
(3.5.15), может быть получена, по существу, тем же способом, как и в
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed