Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 79

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 199 >> Следующая

Соответствующий фазовый портрет показан на рисунке 4.4.1. Заметим, что в
дополнение к двойной гомоклинической петле здесь имеется три семейства
периодических орбит. Поскольку эти линии уровня являются инвариантными
кривыми для (невозмущенного) отображения Пуанкаре Pq,
- тпеТ т = -г:-
п
то, п ?
Z
(4.4.3)
т
(4.4.4)
о
4.4. Усреднение, системы Гамильтона и глобальная динамика
231
Рис. 4.4.1. Фазовый портрет для усредненного уравнения Дуффинга: еа =
0,05, ед = 2,5, 5 = 0, ш = 1,5, cjo = 1.
построенного для усредненной системы, в типичном случае следует ожидать
разрушения гомоклинических петель, приводящего к трансверсальным
пересечениям возмущенных устойчивого и неустойчивого многообразий. Кроме
того, резонансные замкнутые кривые разрушаются некоторым сложным образом.
Ни одна из замкнутых орбит не является гиперболической, и мы должны
обратиться к теории Колмогорова-Арнольда-Мозера для доказательства того,
что "некоторые иррациональные" орбиты, достаточно близкие к эллиптическим
центрам, сохраняются по действием Ре при малых е. Мы вернемся к общим
вопросам возмущений интегрируемых гамильтоновых систем в разделе 4.8
после обсуждения метода Мельникова.
Даже если исходная система негамильтонова, в усредненной системе могут
возникнуть гомоклинические бифуркации. Например, как отмечалось в разделе
2.1, такая бифуркация имеет место в усредненной системе Ван дер Поля со
слабыми возбуждением и демпфированием: получается последовательность
фазовых портретов, изображенных на рисунке 4.4.2. Общая теория,
намеченная выше, показывает, что для достаточно малых (в зависимости от
других параметров) значений ? фазовые потреты (а), (с) сохраняются для
полной системы, поскольку отображения вдоль фазового потока за время Т в
этих случаях будут структурно устойчивыми. Однако,
232
Глава 4
(а)
(Ь)
(с)
Рис. 4.4.2. Гомоклиническая бифуркация для усредненного автономного
уравнения Ван дер Поля (сравните с рис. 2.1.3).
Рис. 4.4.3. Общее возмущение вырожденной гомоклинической бифуркации для
отображения Р? .
если значения параметров приближаются к гомоклинической бифуркации (рис.
4.4.2(b)), диапазон значений е, для которых выполняются утверждения
теоремы 4.4.2, сужается. Разумеется, в точке бифуркации мы не можем
ожидать, что устойчивое и неустойчивое многообразия возмущенного
отображения Р? совпадут, как на рисунке 4.4.2(b), и в типичном случае
вблизи точки бифуркации невозмущенной системы возникают трансверсальные
пересечения с (типично) квадратичными касаниями многообразий в дискретных
точках, имеющими место на границах области (см. рис. 4.4.3).
Большая часть этой книги, включая остаток данной главы и главы 5 и 6,
связаны с обнаружением и анализом трансверсальных гомоклиниче-ских точек
для двумерных отображений, приводящих к ним бифуркациям и возникающей при
этом сложной динамике.
4.5. Метод Мельникова: возмущения плоских гомоклинических орбит
В этом и следующем разделах излагается метод, позволяющий изучать
отображения Пуанкаре для периодических по времени систем вида
(а)
СЬ)
(с)
(4.5.1)
4.5. Возмущения плоских гомоклинических орбит
233
где д имеет (фиксированный) период Т по t. Эквивалентная надстроенная
система выглядит так:
или некотором ее подмножестве, ед(х, t) - малое возмущение, не
обязательно гамильтоново. Многие физические проблемы, такие как задача о
прогнутой балке из раздела 2.2, можно представить в виде (4.5.1), но мы
должны признать, что главная причина изучения систем такого типа состоит
в том, что они составляют один из немногих случаев, когда удается
аналитически получить глобальную информацию о конкретных системах.
Заметим также, что после масштабирующей замены времени t -> et
усредненная система для уравнения (4.1.3) также относится к обсуждаемому
типу, однако, как будет показано в разделе 4.7, непосредственное
применение анализа Мельникова к усредненным системам сопряжено с
трудностями, так как при этом период функции д будет 0(1/е) (см.
уравнение (4.4.1)). Различные обобщения этого метода, представленные в
разделе 4.8, позволяют применять его к более широкому классу систем.
Основные идеи обсуждаемого метода принадлежат Мельникову [1963]. В более
поздней работе Chow et al. [1980] получили аналогичные результаты другим
способом, a Holmes, Marsden [1981, 1982a,b, 1983а] применили метод к
некоторым бесконечномерным потокам, связанным с уравнениями в частных
производных, а также к многомерным автономным гамильтоновым системам1.
Основная идея состоит в использовании глобально вычисляемых решений
невозмущенной интегрируемой системы при расчете возмущенных решений. Для
ее реализации необходимо убедиться, что расчеты возмущений справедливы
равномерно на произвольно больших или полубесконечных интервалах времени.
Вначале уточним сделанные допущения. Мы рассматриваем систему вида
(4.5.1), где вектор-функции
достаточно гладкие (класса Сг, г ^ 2) и ограниченные на ограниченных
множествах, а д имеет по t период Т. Мы полагаем для простоты, что
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed