Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
обмен частицей со спином J, коэффициент при -(-1 )J/(t - -М2), называемый
вычетом в полюсе, должен быть положительным (так как g2 должно быть
положительным). Вообще в релятивистской квантовой теории
1.1. На заре дуальных моделей
19
вычеты в полюсах должны быть положительными, чтобы выполнялось условие
унитарности и отсутствовали духи. Таким образом возникает вопрос:
положительны ли вычеты в формулах (1.1.16) и (1.1.17)? Ответ на этот
вопрос совсем не очевиден. На начальном этапе многие исследования по
дуальным моделям касались его, и в конечном итоге это привело к теореме
об отсутствии духов, утверждающей, что духи (или отрицательные вычеты)
отсутствуют в теории, если определенные довольно неожиданные ограничения
будут наложены на значения а(0) и на размерность пространства-времени. В
частности, оказалось, что размерность пространства-времени должна быть
равна 26, а константа а(0) в реджевской траектории a(s) = a's + а(0)
должна равняться 1. (Эти значения предполагаются теоремой об отсутствии
духов, но однозначно ею не определяются.) Мы вернемся к этим темам в
следующей главе.
Далее, мы хотим вывести интересное интегральное представление для
амплитуды Венециано. Рассмотрим функцию
1
С (и, t")= J dxxu~l(l -x)v~\ (1.1.18)
о
Она удовлетворяет соотношению
1 1 С {и- 1, t"+ \)^\dxx"-4\-xy = -^rT\dx(jLx"-')x
О о
I
X{\-xY = T^T\dxxu-x{\-x)v-x = 1^-TC{u, v), (1.1.19)
о
где мы проинтегрировали по частям. Бета-функция в силу <1.1.7)
удовлетворяет тому же тождеству В (и - 1, и+1) =
= и v_ ¦ В (и, и). Для функции С имеет место и соотношение
1
С (и + 1, v) = ^ dx хи (1 - x)v~1 = о
1 1
= ^ dx xa~l (1 - x)v~l - ^ dx ха~' (1 - x)v = о о
= С(и, v)-C (и, v+ 1). (1.1.20)
Аналогичное тождество для бета-функции B("+l,t>) + + В (и, v + 1) = В (и,
v) также является следствием формулы
0-1-7). Эти рекуррентные соотношения вместе с одинаковыми
20
1. Введение
асимптотическим поведением функций В (и, у) и C(u,v) и тем; фактом, что
они совпадают при u - v= 1, приводят на самом; деле к тому, что B(u,v) =
C(u,v). Поэтому мы получаем следующее интегральное представление для
амплитуды Венедианог
t
A (s, 0=5 *~в(я)_,(1 - x)~a(t)~l dx. (1.1.21)'
о
Это интегральное представление играет очень важную роль, так как именно в
таком виде амплитуда Венециано обычно возникает в большинстве подходов,
используемых для вычисления амплитуд рассеяния струн.
1.1.2. Высокоэнергетическое поведение модели Венециано
Наша следующая задача - понять асимптотическое поведение амплитуды
Венециано при высоких энергиях. Рассмотрим сначала реджевскую область
больших s и фиксированных t. Физической областью упругого рассеяния
является область положительных s и отрицательных t или наоборот. Область
больших s и фиксированных t соответствует малому углу рассеяния при
высоких энергиях; именно феноменология в этой области привела к теории
полюсов Редже и в конечном итоге к дуальным моделям.
Чтобы выявить асимптотическое поведение амплитуды Венециано, мы прежде
всего должны знать асимптотическое поведение гамма-функции. Поведение Г
(и) при больших и легка можно установить из интегрального представления
оо
Г(")= 5 dtf-'e'*. (1.1.22)
о
При больших и основной вклад в интеграл дает область i " Tsi и-1.
Вычисление интеграла в этой области методом седло-вой точки приводит к
формуле Стирлинга:
Г (и) ~ м"~1/2 еи. (1.1.23)
Хотя в нашем выводе мы предполагали, что и положительно,, в
действительности формула Стирлинга справедлива для больших и во всей
плоскости и, кроме отрицательной оси и, где Г (и) имеет полюсы. Из
(1.1.23) видно, что амплитуда Венециано
A (s t)= П-(.))Г(-"(Q) (1 1 24>
Л ^5, I) г (_a(s)
1.1. На заре дуальных моделей
21
асимптотически ведет себя в области больших s и фиксированных t следующим
образом:
A(s, 0~f(-a(0)(-a(s))a(o. (1.1.25)
Асимптотическое поведение при больших s и фиксированных t для линейной
реджевской траектории a(s) ~ a's имеет вид
A(s,f)~sa^. (1.1.26)
Уравнения (1.1.25) и (1.1.26) справедливы во всей комплексной плоскости s
(для больших |s|), если только не слишком приближаться к положительной
вещественной оси s. Так как физическая область - это в точности та
область, которая при этом исключается, необходимо дать определенные
пояснения. Дело в том, что в физической области функция А (s, t) даже при
больших s является быстроменяющейся функцией с многими нулями и полюсами.
Это проявляется в существовании резонансов. Уравнения (1.1.25) и (1.1.26)
справедливы в среднем, если соответствующим образом усреднить по нулям и
полюсам. Простым и физически обоснованным способом это можно сделать,
если рассмотреть s с небольшой мнимой частью. Такой способ вполне
разумен, так как в действительности резонансы нестабильны, что приводит к
тому, что из-за квантовых поправок у координат полюсов функции A (s, t)
появляются мнимые части. Эффект квантовых поправок, которые сдвигают
полюсы с вещественной оси, можно имитировать, оставляя полюсы на
