Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
важным в том или ином отношении результатам. Тщательное изложение любого
из этих подходов может занять довольно много места. Нам важно
ознакомиться с несколькими подходами, так как неизвестно с самого начала,
какой из них окажется наиболее полезным в будущем. Все это может иногда
создавать данному предмету сомнительную репутацию. Цель двух следующих
разделов - дать наипростейшее мини-введение в теорию струн. Если в
процессе изложения мы пропустим некоторые важные моменты и сделаем его
проще, чем оно должно быть на самом деле, то в последующих главах эти
недостатки будут нами устранены.
1.3.1. Точечная безмассовая частица
Рассмотрим безмассовую классическую точечную частицу, движущуюся в
пространстве Минковского. Соответствующим действием, описывающим такую
частицу, является
5= J rfre-1 (х) ti,*v (1.3.1)
30
1. Введение
Здесь r^v - метрика пространства Минковского (индексы ц и v
принимают значения 0, 1.... (D-1) в пространстве-времени
размерности D), т - произвольный параметр вдоль траектории, л;^(т) -
положение частицы, е(х)-нечто вроде "метрики" вдоль мировой линии
частицы. Роль функции е(т)-обеспечить инвариантность действия 5
относительно репараметризации, т. е. другого выбора параметра т. В самом
деле, действие (1.3.1) инвариантно при преобразованиях т-"-т(т), е-+-
e(dx/dx). Воспользовавшись калибровочной инвариантностью, можно выбрать
калибровку е=1. В этой калибровке (1.3.1) сводится просто к квадратичному
действию
Г dxv
s = \i^?k4r- <'-3-2>
Варьированием S получается простое уравнение d2xil/dx2 = Qr решениями
которого являются прямые линии в пространстве Минковского. Однако было бы
неверным утверждать, что произвольная прямая в пространстве Минковского
является решением уравнений движения, выведенных из первоначального
действия (1.3.1). Мы не имеем права с самого начала выбрать калибровку е
= 1 и забыть о е. Необходимо также рассматривать уравнение движения 8S/6e
= 0. Один из возможных способов заключается в том, что сначала решают
уравнение б?/бе = 0, а затем фиксируют калибровку е=\. Аналогичным
образом можно поступать для любой системы с локальной калибровочной
инвариантностью. В электродинамике можно при желании приравнять временную
компоненту вектор-потенциала нулю, выбрав калибровку А0 = 0, но нельзя
забывать о законе Гаусса 55/бЛ0 = 0. Во всяком случае, из уравнения 8S/8e
= 0 следует, что калибровочно инвариантная величина
" dx^ dxv /1 о ov
должна обращаться в нуль. Так что решениями наших уравнений в точности
являются светоподобные геодезические в пространстве Минковского,
подтверждая тем самым, что (1.3.1) действительно является действием
безмассовой классической точечной частицы.
Уравнение d2x^/dx2 = 0, полученное варьированием действия (1.3.2), в
котором фиксирована калибровка, не приводит к равенству 7' = 0; из него
только следует, что величина Т сохраняется, dT/dx = 0. Таким образом, в
случае теории с действием, в котором фиксирована калибровка, равенство 7
= 0 является
1.3. Теория струн
31
некоторым ограничением на начальные данные. Если это ограничение наложить
в момент т - 0, оно автоматически будет выполняться при всех т. Такая
ситуация опять же является типичной для систем с локальными
калибровочными симметриями. Например, в теории Максвелла закон Гаусса
б5/бЛ0 = 0 не вытекает из других уравнений Максвелла, но из них следует,
что 65/6Л0 не зависит от времени, так что если в начальный момент эта
вариационная производная равна нулю, то она останется таковой и во все
последующие времена.
Что же происходит при квантовании системы? Каноническими импульсами
являются = 8S/8 (dx^/dx) = r\iLVdxv/dx. После квантования они принимают
вид рц = -id/dx^. Это означает, что Т становится лоренц-инвариантным
волновым оператором •x\v:vd2/dxv-dx'*, который мы будем обозначать через
?. Квантовое состояние - это просто функция ф(л^) от пространственно-
временных координат х^. Однако произвольная функция ф не должна
рассматриваться как физически допустимая. В классическом случае нам
разрешено быть только на орбитах Т = 0, а в квантовой механике необходимо
потребовать, чтобы физическим состоянием было состояние, которое
аннулируется действием Т. Так как Т является волновым оператором,
ограничение Гф = 0 является просто безмассовым уравнением Клейна -
Гордона Шф = 0.
Итак, безмассовое уравнение Клейна - Гордона является уравнением
Шрёдингера для квантовой системы, описываемой действием (1.3.1). То, что
это уравнение линейно, неудивительно; уравнение Шрёдингера любой
квантовой системы линейно. Пуанкаре-инвариантность уравнения также
является очевидным следствием того факта, что действие (1.3.1)
ковариантно относительно преобразований из группы Пуанкаре х11 ->¦ a^xv +
№, где а - преобразование Лоренца, а Ь - постоянный вектор. На первый
взгляд может показаться странным, что в уравнение Шрёдингера не вошла
"временная" производная d/dx, но это типично (хотя, возможно, этот факт
