Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
не так широко известен) для квантовых систем, обладающих симметриями
относительно репараметризации временной координаты; аналогичная ситуация
возникает (как мы увидим) в квантовой теории свободной струны и при
формальных попытках проквантовать общую теорию относительности.
Прежде чем переходить к струнной теории, задержимся на некоторое время и
обсудим вкратце суперсимметричное обобщение теории точечной частицы. На
самом деле имеется несколько возможных суперсимметричных обобщений, с
суперсимметрией либо на мировой линии частицы, либо в пространстве-
времени. В настоящий момент для нас наибольший интерес
32
1. Введение
представляет лагранжиан с пространственно-временной суперсимметрией:
x = S*4*v(^--/8r"||)(4f-,er'^). (,.з.4)
Это действие описывает точечную частицу, распространяющуюся не в
пространстве Минковского, а в суперпространстве с координатами (х^-, 0°).
Здесь 0° - антикоммутирующие координаты, преобразующиеся как спиноры при
лоренцевских преобразованиях координат х**; 1> - гамма-матрицы Дирака.
Квантование действия (1.3.4) несколько замысловато, и мы обсудим его в
гл. 5. Сейчас же просто заметим, что в квантовую теорию обязательно
войдет некоторое суперсимметричное расширение безмассового уравнения
Клейна - Гордона, полученного нами для "бозонной" точечной частицы.
В десятимерном случае, представляющем особый интерес, где 0° выбирается в
виде одиночного майорано-вейлевского спинора, получается, что описываемая
(1.3.4) квантовая система является безмассовым мультиплетом полей со
спинами1) (1, 1/2); этот мультиплет состоит из "фотона" А^ и спинорного
поля положительной киральности т|), удовлетворяющих безмассовым
уравнениям Максвелла и Дирака:
Если же в десятимерии в качестве 0 мы рассмотрим пару майо-рано-
вейлевских спиноров, то квантовая теория поля с действием (1.3.4)
приводит вместо этого к линеаризованному приближению суперуравнений
Эйнштейна, т. е. к десятимерной супергравитации.
Несколько необычным во всем этом является то, что при квантовании теории
точечной частицы мы приходим к уравнениям (Клейна - Гордона в бозонном
случае, суперуравнениям Максвелла и Эйнштейна в суперсимметричном
случае), которые обычно рассматриваются как классические уравнения. Более
того, хотя эти уравнения линейны, они имеют естественные нелинейные
обобщения, которые на самом деле нас обычно и интересуют. Безмассовое
уравнение Клейна - Гордона обобщается более или менее естественным
образом; например, для теории ф4 такое обобщение имеет вид Пф + ^ф3 = 0-
Совершенно естественными обобщениями уравнений Максвелла и
линеаризованных уравнений Эйнштейна являются уравнения
*) Мы говорим о спине, как если бы мы описывали представления
четырехмерной группы Лоренца, где терминология стандартна. Например, для
пространства любой размерности "спин 1" приписывается лоренцевскому,
вектору, "спин 1/2"-спинору и т. д.
1.3. Теория струн
33
DpF"" = 0 и RHV = О теории Янга - Миллса и общей теории относительности.
Обычно при квантовании классической теории мы не добавляем нелинейные
члены в линейное уравнение Шрёдингера, но в случае безмассовой точечной
частицы или суперчастицы нам необходимо это сделать.
В бесхитростной идее о световом луче в пространстве Минковского мы должны
уловить намек на то, как нужно поступать в теории Янга - Миллса или общей
теории относительности. "Настоящая" теория безмассовой точечной частицы,
а именно суперсимметричная теория, в результате квантования приводит к
уравнениям Максвелла и линеаризованным уравнениям Эйнштейна, которые
затем должны обобщаться на нелинейные уравнения Янга - Миллса и
Эйнштейна.
1.3.2. Обобщение на струны
Теперь мы готовы приступить к обсуждению струн. Струна - одномерный
объект, математическая кривая. Мы рассматриваем как открытые струны,
имеющие концы, так и замкнутые
а)
;5'
время
Рис. 1.3. Открытая (а) или замкнутая (Ь) струна, распространяясь в
пространстве Минковского, заметает двумерную поверхность, известную как
мировая поверхность струны. Из классических уравнений свободной теории
струн следует, что эта поверхность должна быть минимальной, т. е.
обладать наименьшей площадью.
струны, которые топологически эквиваленты окружностям. Открытая струна
обычно описывается координатой а, пробегающей значения от 0 до л; для
замкнутой струны мы также будем считать, что 0 ^ о ^ л. Для описания
движения струны полезно ввести еще и времениподобный параметр эволюции т,
который
34
1. Введение
является, временной координатой для наблюдателя, сидящего в точке с
координатой о на струне. Струна, распространяясь в пространстве-времени
(рис. 1.3), заметает мировую поверхность, являющуюся обобщением мировой
линии точечной частицы. Математически мировая поверхность описывается
функцией Х^{а, т) - положением струны при данных значениях а и т. Иногда
объединяем а и % в двумерный вектор <т" = (т, а) и используем выражение
d2a для обозначения dad-x.
В том виде, в каком первоначально действие струны предлагали Намбу и
