Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
пользоваться метрикой с сигнатурой {-, +, +}, так что
квадрат массы частицы т2 ~ -р2. Общепринятые переменные Манделстама
определяются следующим образом:
S= - (Px + Pif, t = - (р2 + рз)2, ы= - (Р1 + Рз)2. (Ы.1)
Они удовлетворяют тождеству 5 +1-\-и=2* пп. Мы предположим, что внешние
линии на рис. 1.1 соответствуют частицам типа пионов, преобразующимся по
присоединенному представлению группы ароматов, которой в случае трех
ароматов яв-
12
1. Введете
ляется группа SU(3) или U(3). Ароматовые квантовые числа i-го мезона,
соответствующего внешней линии, специфицируются подбором ароматовых
матриц fa. Мы обсудим член в амплитуде рассеяния, пропорциональный
теоретико-групповому множителю tvifafafafa). Так как этот теоретико-
групповой множитель инвариантен относительно циклической перестановки
1234->2341, бозе-статистика требует, чтобы соответствующая амплитуда была
циклически симметрична при перестановке Р\Р2РзР4^>-Р2РзР*Р\. В терминах
манделстамовских переменных
Рис. 1.2. Однопетлевая диаграмма, как здесь указано, может быть получена-
сшиванием двух древесных диаграмм.
эта перестановка импульсов означает замену s ч-> t, отвечающую симметрии,
которой должна будет обладать амплитуда A(s, t).
В квантовой теории поля основной нетривиальный вклад в амплитуду
рассеяния дают древесные диаграммы, изображенные на рис. I.I. Главной
причиной того, что трудно построить последовательные квантовые полевые
теории частиц высшего спина, является плохое высокоэнергетическое
поведение древесных диаграмм с обменом этими частицами. Асимптотически
это приводит к выходу за границы, накладываемые унитарностью. Рассмотрим,
например, диаграмму в ^-канале. Обозначим внешние частицы на рис. 1.1
через ф, а частицу, участвующую в обмене, через а. Если а имеет нулевой
спин, то диаграмма на рис. 1.1 может содержать вершину, соответствующую
простому взаимодействию cp*tpa; тогда амплитуда есть просто A (s, t) - =
-g2/(t - М2), где g-константа взаимодействия, а М - масса частицы а. Эта
амплитуда обращается в нуль при /-"- оо, что является одним из аспектов
очень хорошего высокоэнергетического поведения рассматриваемого
кубического скалярного взаимодействия.
Предположим теперь, что частица а описывается полем ^1^2 ••• **/ со
спином /. Для такого поля кубическим взаимодей-
1.1. На заре дуальных моделей
13
ч~> ч~>
ствием на рис. 1.1 должно быть нечто похожее на<р*<5д <5ц ...
• • • "¦Диаграмме на рис. 1.1 теперь будет соответ-
ствовать выражение, содержащее произведение 2/ импульсов. Если внешние
частицы являются скалярами, то вклад в амплитуду рассеяния от обмена в /-
канале частицей со спином / при высоких энергиях имеет вид1)
Поэтому эта амплитуда ведет себя все хуже и хуже (все более и более
расходится) для все больших и больших /. Объективным критерием того, что
есть плохое поведение амплитуды, является ответ на вопрос: что
произойдет, если мы сошьем вместе амплитуды типа (1.1.2), чтобы получить
петли, как, например, это изображено на рис. 1.2? Подынтегральное
выражение, соответствующее однопетлевому вкладу в пространстве-времени
размерности п, приблизительно равно ^ dnpA2/(p2)2, где А -
древесная амплитуда, определенная формулой (1.1.2). В четы-рехмерии такая
петлевая диаграмма сходится, если J < 1, имеет потенциально
перенормируемую логарифмическую расходимость при /=1 и неприятную
неперенормируемую расходимость при J > 1.
Имеются сильно взаимодействующие частицы с разными массами и спинами, за
счет которых может происходить обмен в /-канале, так что амплитуду в /-
канале мы должны записать в общем виде
где теперь допускается возможность зависимости константы взаимодействия
gj и массы Mj обменных частиц от J (и, возможно, от других квантовых
чисел, нами не указанных). Конечно, можно принять такую точку зрения, что
сильные взаимодействия столь сильны, что борновское приближение,
использованное в (1.1.3), неприменимо. Но будем оптимистами и по-
¦) Таково поведение древесной амплитуды рассеяния в асимптотической
области больших s и фиксированных t. Поведение вида s1 легко получить,
сворачивая импульсы, возникающие в вершинах взаимодействия диаграмм,
изображенных на рис. 1.1. Точная формула (при промежуточных значениях s)
сложнее и содержит полиномы Лежандра Pi (cos 0;) (0 - угол рассеяния в
системе центра масс в f-канале). Мы предпочитаем записывать только
формулу высокоэнергетического поведения, которая достаточно проста и
вполне подходит для наших целей.
Aj (S, t) = -
(1.1.2)
(1.1.3)
14
1. Введение
-смотрим, как далеко мы можем продвинуться. Каково высокоэнергетическое
поведение суммы в (1.1.3)? Если эта сумма конечна, то
высокоэнергетическое поведение определяется просто адроном с наивысшим
спином /, дающим вклад в (1.1.3). Это сильно отличается от того, что
наблюдается в природе; истинное высокоэнергетическое поведение амплитуд
адронного рассеяния намного более плавное, чем поведение каждого
отдельного слагаемого в (1.1.3). (Реджевское асимптотическое поведение
