Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 7

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 212 >> Следующая

Г (и) = {и - 1)!. (1.1.9)
Интегральное представление гамма-функции в (1.1.6) справедливо, если
только вещественная часть и положительна, и из него следует, что Г не
имеет особенностей в этой части комплексной u-плоскости. Рекуррентное
соотношение (1.1.7) можно использовать для того, чтобы расширить область
определения функции Г и найти ее сингулярности. Записывая (1.1.7) в виде
Г (и) = Г-(цц+1) , (1.1.10)
мы получаем определение гамма-функции при Re и >-1, так как правая часть
(1.1.10) уже определена в этой области. Из уравнения (1.1.10) также
следует, что Г имеет простой полюс в точке и = 0 с вычетом, равным 1. Эту
процедуру можно обобщить; повторное использование (1.1.7) дает
Г(ц)= . ^------ту (1.1.11)
v ' и (и + 1) ... (и + п - 1)
для любого положительного целого п. Правая часть уравнения
(1.1.11) однозначно определяется интегральным представлением
(1.1.6), если Re" > -п, так что мы получаем однозначное аналитическое
продолжение гамма-функции в эту область. Так как п произвольно, гамма-
функция фактически имеет однозначное
1.1. На заре дуальных моделей
17
аналитическое продолжение во всю комплексную плоскость. Из
(1.1.11) видно, что единственными особенностями функции Г являются
простые полюсы в точках и = О,-1,-2, .... Поведение этой функции при
значениях и вблизи -п (п - неотрицательное целое число) можно установить
из формулы (1.1.11), и оно имеет вид
Г (и)--i-(1.1.12)
' ' и + п п\ ' '
Обсудим теперь аналитическое поведение функции
в("'°)=тШг ¦ <U13>
которая называется бета-функцией Эйлера. Амплитуда Венециано выражается
через нее следующим образом: A(s,t) = = В(-a(s), -a(t)). Из (1.1.13)
очевидно, что бета-функция
жмеет простой полюс, когда и или v - неотрицательные целые.
Двойные полюсы в (1.1.13) отсутствуют, хотя Г(") и Г(у) могут
одновременно иметь полюсы, так как, если это происходит, то и знаменатель
в (1.1.13) в этом случае имеет полюс. Это важный момент, так как в
релятивистской квантовой механике древесные амплитуды могут обладать
только особенностями, являющимися простыми полюсами. Поведение функции
B(u,v) при v ~ -п (п - неотрицательное целое) очевидно:
В (и, о)~^-Ь^(М-1)("-2) ... (и-п). (1.1.14)
Здесь мы воспользовались формулой (1.1.7), с тем чтобы записать вычет в
полюсе v =-п в виде полинома по и; это снова важный факт, так как вычет в
полюсе в релятивистской квантовой механике должен быть полиномом. В (и,
v) как функция v при фиксированном и имеет только особенности, указанные
в формуле (1.1.14). Мы утверждаем теперь, что бета-функция (для Re и > 0,
так что приведенный ниже бесконечный ряд •сходится) может быть
представлена в виде
оо
В("• °) = ? тгтг-т^-1^-2) ••• {и~п^ (1ЛЛ5)
п=0
Идея здесь состоит в том, что сумма в правой части (1.1.15) воспроизводит
все особенности бета-функции, так что эта сумма тложет отличаться от
бета-функции только на целую функцию переменной v, т. е. на функцию без
особенностей в комплексной и-плоскости. Такая функция не может обращаться
в нуль при •больших \v\. Так как сумма в правой части (1.1.15) обра-
18
1. Введение
щается в нуль для положительных и и больших |и| (вне вещественной оси), и
мы скоро увидим, что В (и, v) обладает тем же свойством, то они должны
быть равны.
Формулу (1.1.15) сразу же можно представить как формулу для амплитуды
Венециано:
оо
A(s, 0 = -? -(SLii)+.1)(S^)..+ g) "*(") + ") '-я.. (1.1.16)
п~0
Хотя амплитуда Венециано в том виде, в каком она была первоначально
определена, явно удовлетворяет условию A (s, t) = A (t, s), в форме
(1.1.16) эта ее симметрия совсем не очевидна. В силу этой симметрии можно
сразу же записать альтернативное выражение
оо
A(s, t) = -Y ^ (i)-+ 1} (а (0 ±,2Ь • •_<" (о + п) 1----
L-! п\ a (s) - п ' '
п = О
Теперь, взяв "реджевскую траекторию" в простом виде а(0 - = а^ + а(0)>
можно утверждать, что особенности (1.1.16) являются простыми полюсами,
соответствующими, как и в (1.1.3), обмену частицами с квадратом массы М2
= (п - а(0))/а', п = = 0, 1,2, ... в ^-канале. Вычет в полюсе a(t) - n
(при линейном выборе реджевской траектории) является полиномом п-го
порядка по s, что соответствует с учетом (1.1.3) тому факту, что частицы
массы (п - а(0))/а' обладают спином не больше п. Таким образом, квадрат
наименьшей возможной массы частицы со спином / равен (/ - а(0))/а', и
именно по этой причине а! называется "наклоном реджевской траектории";
говорят, что частицы с квадратом массы M2=(J - а(0))/а' лежат на "ведущей
траектории Редже". Нам интересен случай а' > 0, так как в противном
случае все или почти все рассматриваемые частицы будут тахионами.
Равенство формул (1.1.16) и (1.1.17) представляет собой на первый взгляд
невозможное свойство "дуальности": одна и та же амплитуда может быть
записана либо как сумма по полюсам в s-канале (формула 1.1.17)), либо как
сумма по полюсам в ("-канале (формула 1.1.16)).
Единственное, что не является очевидным ни в (1.1.17), ни в (1.1.16),^так
это знак вычетов в полюсах s- и ^-каналов. В формуле (1.1.2), описывающей
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed