Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
калибровочной группы группу 50(32).
Второй метод введения калибровочной симметрии основан на представлении о
том, что заряд может быть распределен вдоль всей замкнутой струны.
Соответствующие плотности образуют алгебру Каца - Муди, которую можно
рассматривать как двумерную алгебру токов. Симметрии такого типа можно
описывать как на языке бозонов, так и на языке фермионов. В бозонном
варианте вводятся дополнительные измерения, которые компактифицируются
так, чтобы образовать в итоге максимальный тор соответствующей алгебры
Ли. Сами генераторы, образующие полную алгебру токов, можно представить в
виде вершинных операторов с помощью конструкции Френкеля, Каца
384
6. Неабелева калибровочная симметрия
и Сигала. В теории гетеротической струны необходимо потребовать, чтобы
импульсы, канонически сопряженные к координатам тора, образовывали
автодуальную 16-мерную решетку, что выделяет в качестве единственно
допустимых групп группы EsXEsH spin(32)/Z2.
Приложение 6.А. Некоторые сведения о группе Е&
Цель настоящего приложения - дать элементарную сводку некоторых избранных
свойств как самой исключительной группы Es, так и некоторых ее подгрупп.
Среди всех конечномерных исключительных алгебр Ли алгебра группы Е8
является самой обширной - все остальные оказываются ее подалгебрами.
Хотя, построив представление вершинными операторами, мы явно описали
алгебру Е8 и тем самым доказали, что она действительно существует, но
стоит дать ее прямое и возможно более наглядное описание.
Мы собираемся построить алгебру Ли группы Ев, отталкиваясь от подалгебры
50(16). Генераторы алгебры 50(16) -это операторы (так как ]ц =-7/г, то
всего их имеется 16-15/2 = = 120 штук), удовлетворяющие следующим
перестановочным соотношениям:
Uij, hi] - Jifiik - - Jik6ji J/к6ц. (6.A.1)
К ним мы добавим операторы Qa, преобразующиеся по 50(16) как спиноры
положительной киральности. Размерность этого представления, как мы знаем
из приложения 5.А, равна 27 = 128, и, следовательно, возникающая алгебра
Ли, если нам действительно удастся ее построить, будет иметь размерность
120+ 128 = 248. Утверждение, что Qa преобразуются по 50(16) как спиноры,
означает, что *)
Vi,; <2а] = Ыар<Эр, (6.А.2)
и чтобы полностью описать 248-элементную алгебру Ли, которую мы пытаемся
построить, надо задать еще и коммутаторы
') Как и в приложении 5.А, гамма-матрицы обозначаются у', /= 1, ...
...,16, а генераторы S0(16) в спинорном представлении - как оц = = [Y',
Yj]/4- Оператор киральности есть у = Y1Y2 • • • Yie. Кроме того, мы
определяем антисимметризованные произведения п гамма-матриц: Vi i ...г =
(Y1Y2 • • • Y" ± перестановки)/"!; отсюда Yi ia = 20^^ Подобно
SO (8) гамма-матрицам, построенным в предыдущей главе, гамма-матрицы для
50(16) тоже можно выбрать вещественными; действительно, их можно
конструировать так же, как в случае 50(8). Аналогично и спиноры
положительной киральности Qa можно выбрать вещественными, значит, нет
нужды различать Qa и Qa. В противном случае нам для получения
вещественной алгебры Ли пришлось бы добавить еще и спиноры Qa-
Приложение 6.А
385
[Qa, Qp] - (Подчеркнем - наша цель построить алгебру, а не супералгебру
Ли, поэтому нам нужны коммутаторы, а не антикоммутаторы!.) Из свойств
группы 50(16) они определяются однозначно с точностью до коэффициента:
[Qa, Qp] = (tf;/)aP v (6.А.З)
Хотя устройство группы 50(16) не запрещает нам домножить правую часть
(6.А.З) на произвольную константу, но этот множитель может быть
тривиально поглощен за счет перерастяжки Qa, поскольку предыдущие формулы
нормировку Qa не фиксируют. Таким образом, если алгебра Ли с указанным
составом по группе 50(16) действительно существует, то она должна
задаваться формулами (6.А.1), (6.А.2) и (6.А.З), и только этими
формулами.
Чтобы определить, могут ли эти формулы действительно задавать алгебру Ли^
надо в первую очередь проверить возможность выполнения тождеств Якоби.
Заметим, что значительная часть этих тождеств дополнительной проверки не
требует. Действительно, тождество для трех J всего лишь утверждает, что
50(16) является алгеброй Ли, тождество JJQ означает, что спиноры
действительно образуют представление группы 50(16), а тождество QQJ можно
свести к тождеству для QQQ с помощью (6.А.З). Итак, мы видим, что
критическим пунктом для всей конструкции оказывается следующее тождество
Якоби:
[ [Qa, Qp], Qy\ + [ [Qp, Qv]> Qa] + [ [QV> Qa], Qp] = 0-
Используя (6.A.3), мы можем явно выписать это тождество, выполнение
которого является необходимым условием существования алгебры Ли группы
'Е& с заданым составом по группе 50(16):
(^//)ap {&ii)y& ~Ь (^//)pv (&ij)ae "I- ipij)уа (o'"/)рв == 0. (6.А.4)
При этом, конечно, нам надо доказывать это тождество лишь при тех
значениях индексов а, р и у, которые отвечают спинорам одной и той же
киральности. Имеется поразительное сходство между этим тождеством и тем,
которое понадобилось нам в приложении 4.А для доказательства
существования суперсимметричной теории Янга - Миллса, и это не
