Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 151

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 145 146 147 148 149 150 < 151 > 152 153 154 155 156 157 .. 212 >> Следующая

v будет линейной комбинацией векторов Г|8 с целыми коэффициентами.
Запишем: v = = 2,ViUi, где Vi - искомые вещественные числа. Выберем е = =
Ui ± "у; тогда условие, состоящее в том, что (v, е) = Vi + и/ является
целым при любых i и / (и при любом выборе знака), означает, что все Vi
должны быть целыми или полуцелыми. Рассмотрим произведение (v,eQ) при <?0
= (1/2, 1/2, ..., 1/2), получаем, что X Vi должна быть четной. Если vi
целые и их сумма четная, то v = 'Lvi.ui есть линейная комбинация корневых
векторов щ ± и/ с целыми коэффициентами. Если Vi полу-целые с четной
суммой, то Vi - е0 целые с опять-таки четной суммой, так что и получается
сложением е0 и некоторого количества корней вида и,- + щ. В итоге мы
доказали, что любой вектор, имеющий целое скалярное произведение с каждым
из корней Еа, есть линейная комбинация тех же корней; иными словами, мы
доказали, что решетка корней Г8 группы Es автодуальна.
Решетка Ti6 описывается с помощью аналогичной конструкции. Рассмотрим
веса
±Ui±Uj, i, /=1, 2, ..., 16, (6.4.74)
у (dh "1 ±ы2 . . ¦ ± "ш), число знаков "+* четно. (6.4.75)
480 весов в (6.4.74) образуют систему корней для группы spin (32), а 215
весов в (6.4.75) являются весами спинорного представления spin (32).
Порожденная этими представлениями решетка содержит все точки, отвечающие
двум классам эквивалентности, и является автодуальной, что нетрудно
проверить, буквально повторяя предыдущие рассуждения. Поскольку
представления группы spin(2n) разбиваются на четыре класса
эквивалентности (присоединенное, векторное, спинорное и спи-норное), то
надо выбрать два из них, причем таким образом, чтоб совпадали объемы
единичных клеток исходной и дуальной к ней решеток. Действительно,
условие автодуальности будет выполнено, если мы возьмем класс,
соответствующий присоединенному представлению (т. е. решетку корней) и
один из двух классов, отвечающих спинорному представлению группы
spin(16n) при п = 1, 2, ... . В случае п= 1 мы получаем Гв, а при п = 2
имеем Г16. И только в случае п= 1 добавленные спинорные веса
действительно приводят к расширению алгебры Ли.
6.4. Компактификация на торы
379>
6.4.8. Спектр гетеротической струны
В рамках фермионного описания мы уже исследовали спектр низколежащих
состояний в теориях гетеротической струны. В этом разделе мы детально
рассмотрим спектр первого возбужденного уровня, используя бозонную
формулировку. Кроме того, мы вычислим число состояний на произвольном
уровне и убедимся, что результат совпадает с аналогичным результатом,
полученным на фермионном языке.
Каждое состояние с компактифицированным левым импульсом К дает вклад,
равный К2/2, в (масса)2/4. Таким образом, чтобы найти степень вырождения,
надо подсчитать, сколько векторов данной длины имеется в решетке. Эту
информацию принято записывать с помощью тэта-функции решетки Г, которая
определяется формулой
где суммирование идет по всем узлам (весам) w решетки. Для четной решетки
этот ряд можно переписать в виде
здесь dn - число узлов w решетки, таких что ww = 2n. Итак,, степени
вырождения оказываются коэффициентами при соответствующих частотах в
разложении (6.4.76).
В разд. 3.2.4 мы определили модулярную группу как группу преобразований
и ad-be = 1. Функция G(t) называется модулярной формой веса 2k, если
для любого преобразования из модулярной группы. Тэта-функция четной
автодуальной решетки в d измерениях является модулярной формой веса d/2.
(Подробнее о модулярных формах говорится в приложении 6.В, а
доказательство того, что тэта-функция автодуальной решетки -- это
модулярная форма веса d/2, приведено в приложении 9.В).
(c)г (т) = ? em't<w>\
(6.4.76).
w "= Г
(r)г (т) = ? dne'¦
,2 ninx>
(6.4.77);
т
ат + Ь
(6.4.78)
сх + d '
матричные элементы а, Ь, с и d целые-
G СО = (ст + dfk G (т)
(6.4.79)'
380
6. Неабелева калибровочная симметрия
В силу теоремы единственности, приведенной в приложении 6.В, существует в
точности одна модулярная форма веса четыре (с точностью до нормировки),
и, следовательно, тэта-функция для решетки Е8 дается выражением
оо
0Г" = 1 + 240 ? ст3 (пг) е2яг(tm) =
m=1
= 1 + 240е2л'г + 9 • 240е4шЧ + . . ., (6.4.80)
представляющим собой модулярную форму веса четыре. Коэффициенты Ста(т)
определены в приложении 6.В. Поскольку существует единственная модулярная
форма веса восемь (см. приложение 6.В), то тэта-функции для решеток Г8 X
Г(r) и Ti6 совпадают:
(r)г16 = (r)г" хг, = (0г")2 = 1 + 480 2 а7 (т) е2ягтг +
т= 1
= 1 + 480е2ягг + 129 • 480е4лг'с + . . .. (6.4.81)
Из того факта, что две решетки имеют одну и ту же тэта-функцию, следует,
что число состояний на каждом массовом уровне в обеих теориях
гетеротической струны тоже будет одинаково. Перейдем теперь к вычислению
собственно степени вырождения.
Как мы видели в разд. 5.3.1, число правых мод суперструны на массовом
уровне N дается коэффициентами dn(N), где
оо оо
Е 16 п (-??)"¦ (6А82>
N = 1 п = 1
Для левых бозонных мод, компактифицированных на Гв X Гв или на Г16,
Предыдущая << 1 .. 145 146 147 148 149 150 < 151 > 152 153 154 155 156 157 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed