Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
(6. А. 16)
У Е6 есть максимальная подгруппа SU (6) X SU(2), дающая соответственно
78 = (35, 1)0(1, 3)0(20, 2),
__ (о.А.17)
27 = (15, 1)0(6, 2).
Здесь через 2 обозначено фундаментальное, а через 3 - присоединенное
представление SU( 2). 6 - это фундаментальное представление 5[У(6),15-
антисимметричное произведение двух представлений 6, 35 - присоединенное
представление и 20 - антисимметричный самодуальный тензор третьего ранга.
У Е6 есть еще максимальная подгруппа 5t/(3)XSU(3)XSU(3), которая будет
играть некоторую роль в гл. 16. Она порождает разложение
78 = (8, 1, 1)0(1, 8, 1)0(1, 1, 8)0(3, 3, 3)0(3, 3, 3),
_ _ _ (о. А Л о)
27 = (3, 3, 1)0(1, 3, 3)0(3, 1, 3).
Все эти подгруппы и соответствующие им разложения можно получить (проявив
некоторое терпение), действуя примерно так же, как мы действовали выше.
Например, чтобы получить формулу (6.А.18), следует фиксировать в 50(Ю)е?6
максимальную подгруппу1) SU(3)Х U(1)X SU(2) X SU (2) (представление 10
группы 50(10) разлагается как (3, 1, I)10(3, 1, 1)-!0 0(1, 2, 2)°).
Воспользовавшись (6.А.12) для разложения 78 мультиплета Е6, получаем 16
генераторов, коммутирующих с SU(3), а из их ^/(1)Х5^/(2)Х5^/(2)-
содержания увидим,что они порождают SU(3)XSU(3), и не без некоторого
усилия получим формулу (6.А.18).
') Эта подгруппа используется в SO (10) -моделях великого объединения.
Приложение 6.В
391
Приложение 6.В. Модулярные формы
В разд. 3.3 мы ввели понятие модулярного преобразования
как
где а, Ь, с и d - целые числа и ad-be- 1. Такая совокупность
преобразований образует группу, называемую модулярной группой и
изоморфную группе SL(2,Z). Функция G(т) называется модулярной формой веса
2k, если
для любого преобразования из модулярной группы. Модулярные формы играют
фундаментальную роль в теории чисел, однако обсуждение этого вопроса
завело бы нас, к сожалению, слишком далеко в сторону. Примеры модулярных
форм веса 2k дают нам ряды Эйзенштейна:
которые сходятся при k = 2,2>, ... . То, что (б.В.З)действительно
определяет модулярную форму, можно доказать довольно легко. Идея
доказательства основывается на том факте, что сумму в (6.В.З) можно
рассматривать как сумму по всем узлам решетки в комплексной плоскости,
которая определяется (как именно - описано в разд. 3.3) значением
комплексного параметра т. Модулярные преобразования отображают эту
решетку •саму на себя (это свойство и послужило поводом для введения
такой группы в разд. 3.3), вследствие чего закон преобразования (6.В.З) и
оказывается столь простым. Основная теорема теории модулярных форм
утверждает, что любая голоморфная модулярная форма веса 2k может быть
представлена в виде полинома по G4 и G6'). Поскольку веса модулярных форм
при умножении складываются, то единственная модулярная форма веса восемь
- это G\. Наименьший вес, при котором имеются хотя бы две независимые
модулярные формы, равен 12, соответствующие две формы - это G\ и G\.
Функцию G2k можно переписать в другом виде:
G (т') = (ст + dfk G (т)
(6.В.2)
Gm (т) = Z (т + пх) 2к,
(6.В.З)
(т, п) ф (0, 0)
*) Доказательство этой теоремы довольно просто. Доступное изложение можно
найти в книге: Ж. П. Серр, "Курс арифметики". - М.: Мир, 1972.
392
6. Неабелева калибровочная симметрия
где ? - дзета-функция Римана
оо
Е (2) = Z я-2.
(6.В.5)
(2* - 1)! ? (2k)
(2nifk
(6.В.6)
и
<Уа (k) = ?
(6.В.7)
d I k
Сумма в (6.B.7) идет по всем целым положительным дивизорам k. Отсюда
аа(1)= 1, оа(2) = 1 + 2" и т. д., а вот несколько первых значений с2*: с4
= 240, Сб = -504 и са = 480.
Можно показать, что тзта-функция любой целой автодуальной решетки в d-
мерии есть модулярная форма веса d/2, что будет доказано в приложении
9.В. В силу теоремы единственности для модулярных форм тзта-функция
решетки Еъ должна быть пропорциональна G4, а так как член, отвечающий
нулевой частоте, равен единице, то коэффициент пропорциональности
фиксируется, и мы получаем
*т. е. модулярную форму веса четыре. Поскольку для веса восемь существует
единственная модулярная форма, равная или G&, то решетки Гз X Га и Ti6
должны иметь одну и ту же тзта-функцию:
оо
ег, = 1 + 240 ? а3 (т) е2л1тх,
(6.В.8)
т-1
оо
(c)г,. = 0Г, X г, = (@г")2 = 1 + 480 ? о? (т) ё*яШх =
т-1
оо \ 2
1 + 240 ? <*з (т)е 2я'тт
(6.В.9)
7. Древесные амплитуды
Во вводной главе мы уже вкратце описывали, как происходит взаимодействие
струн. Мы показали, что струнные фейнма-новские диаграммы соответствуют
мировым поверхностям, в которых кодируются вся пространственно-временная
история струны, последовательность ее разрывов и склеек. После
аналитического продолжения к евклидовой метрике все диаграммы могут быть
расклассифицированы в соответствии с их топологией. Порядок любой данной
диаграммы в теории возмущений определяется числом ручек у поверхности (в
теории, содержащей открытые струны, еще и числом дырок) и количеством
внешних линий. Для любого заданного процесса лидирующий член дается
древесным приближением. Коль скоро нам известно древесное приближение
