Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 155

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 159 160 161 .. 212 >> Следующая

заметим, что генераторы группы 50(6) в представлении 4 - это комплексные
эрмитовы матрицы 4X4, которые в силу простоты алгебры Ли группы 50(6)
обязаны быть бесследовыми, а потому могут быть отождествлены с некоторыми
генераторами группы SU(4). Следовательно, алгебра Ли группы 50(6)
является подалгеброй в алгебре Ли группы SU(4). Но поскольку число
генераторов в этих двух алгебрах одинаково (оно равно 15), то алгебра
50(6) не может быть собственной подалгеброй алгебры 50'(4) и эти алгебры
обязаны совпадать1). Кроме того, из этого рассуждения видно, что
фундаментальные представления 4 и 4 группы SU(4) будут соответственно
положительно и отрицательно кираль-ными спинорами по SO (6). И наоборот,
фундаментальное представление 6 группы SO (6) будет по SU(4)
антисимметричным тензором второго ранга, имеющим как раз 4-3/2 = 6
компонент.
В приведенных выше рассуждениях мы могли бы, вместо того чтобы говорить о
подалгебре SO (10) X SO (6) алгебры Es, выбрать подалгебру SO(10)X5?/(4).
SU(4), в свою очередь, имеет подалгебру U(l)~X SU(3). Если обозначить
верхним индексом 0(1)-заряд, то 4-мультиплет SU(4) разложится
относительно ?/(1)Х5?/(3) как 13(c)3-1. Представление 6 группы S?/(4)
(являющееся, как мы только что выяснили, антисимметричным произведением
двух представлений 4) преобразуется по U(l)'XSU(3) как 32(r)3~2, а
присоединенное представление SU(4) (классифицирующееся ка_к 4(r)4 после
удаления синг-лета) разлагается как 8°(r) 3~4(r) З4(r) 1° по SU(3) (8 - это
присоединенное представление SU(3)). Подставив теперь все это в формулы
(6.А.8) и (6.А.10), мы получаем SO(10)XO(1)X X Sf)(3)-содержание
присоединенного представления группы Е&:
248 = ((45, 1)°(r) (1, 1)°(r) (16, 1)3(c)(16, 1)~3)
ф ((16, З)-1 (r) (10, 3)2(r)(1, зг4)
(c)((16, 3)'(r)(10, ЗГ2(r)(1, 3)4)(r)(1, 8)°. (6.А.11)
Отметим теперь, что присоединенное представление 248 генераторов содержит
78, являющихся 5?/(3)-синглетами. Поскольку
') В этом также можно убедиться, построив схемы Дынкина для SU(N) и SO(N)
и заметив, что для S?/(4) и SO(6) они совпадают.
Приложение 6А
389
коммутатор двух 5?/(3)-синглетов тоже должен быть сингле-том, то мы
видим, что эти 78 генераторов образуют некую подалгебру в ?8; это и есть
алгебра Ли исключительной группы Ев. Очевидно, что у ?6 максимальной
подалгеброй будет 50(Ю)Х^(1). причем присоединенное представление Е6
разлагается по этой подалгебре как
78 = 45°(r) 163(r) Тб-3(r) 1°. (6.А.12)
Более того, в (6.А. 11) участвуют 27 триплетов SU(3). Под действием ?6
эти триплеты должны отображаться в себя, а значит, у ?6 должно быть 27-
мерное представление со следующим 50 (10) X ?41) содержанием:
27 = 16-1ф 102(r) I-4. (6.А.13)
В качестве проверки заметим, что 16-(-1)+10*2+Ь(-4) = О, т. е. след
генератора f/(l) в 27-мультиплете группы ?6 равен нулю. Это согласуется с
общим утверждением, что у простой алгебры Ли след любого генератора и в
любом представлении есть нуль. (Отсюда также следует, что представление
27 неприводимо; действительно, если убрать из (6.А. 13) хотя бы один
член, то след f/(l) станет отличен от нуля.) Представлению 27 комплексно
сопряжено еще одно представление группы ?6:
27 ^Тб1(r) 1(Г2(r) I4. (6.А.14)
Очевидно, что наборы (6.А. 13) и (6.А. 14) не изоморфны, а значит, 27 и
27 - это два комплексных, не эквивалентных своим сопряженным
представления ?6. Из всех исключительных алгебр Ли алгебра ?6 является
единственной, имеющей комплексные представления. Если вернуться к формуле
(6.А. 11), то можно получить следующую формулу для разложения
присоединенного представления ?8 относительно ?6X5f/(3):
248 = (78, 1)(r)(1, 8)(r) (27, 3) ф (27, 3). (6.А.15)
Выделив вместо SU(3) подгруппу SU{2) и действуя вполне аналогичным
образом, мы пришли бы к еще одной исключительной алгебре, Е7, имеющей 133
генератора, но подробно останавливаться на этом мы не будем. Кроме ?6, ?7
и ?8 есть еще две исключительные алгебры Ли - F4 и G2. Что касается F4,
то мы уже отмечали, что ее можно построить, отталкиваясь от
50(9) и добавляя спиноры, т. е. буквально повторяя путь от
50(16) к Е8. Эту 50 (9)-конструкцию можно очевидным образом вложить в 50
(16)-конструкцию, и в результате мы получим естественное вложение ?4 в
?8. При этом группа G2 возни-
390
6. Неабелева калибровочная симметрия
кает как коммутирующая с Fn подгруппа, т. е. так же, как в вышеописанной
конструкции Ев возникала как коммутирующая с SU(3) подгруппа в Es. Таким
образом, Es содержит подгруппу (?2 X Fi- (Есть множество других и,
возможно, более простых способов описания 02. Она является группой
симметрии таблицы умножения для октонионов; она, кроме того, является
подгруппой группы 50(7), оставляющей неподвижным некоторый элемент
спинорного представления.)
Мы закончим этот раздел кратким перечислением некоторых других
максимальных подгрупп в ?j и в ?f. У Es имеется максимальная подгруппа
5?/(5)Х SU(5), порождающая разложение
248 = (24, 1)0(1, 24)0(5, 10)0(10, 5)0(5, 10)0(10, 5).
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 159 160 161 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed