Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
Оказывается, что такие "правила игры" дают удовлетворительный результат
только для лежащих на массовой поверхности матричных элементов 5-матрицы,
и именно это обстоятельство делает крайне затруднительной любую попытку
двинуться задним ходом, т. е. вывести некоторое действие струнной теории
поля, которое и породит эти диаграммы. Нетривиальным оказывается и
обобщение этой техники на петлевые диаграммы. Однако в том операторном
подходе, который нам предстоит сейчас сформулировать, будет явная
') В этом направлении уже был достигнут определенный прогресс, но в
данной книге мы не будем пытаться обозревать эти результаты.
396
7. Древесные амплитуды
унитарность, особенно на древесном и однопетлевом уровне, где вся эта
техника работает особенно эффективно. В данном разделе мы рассмотрим
древесные амплитуды для рассеяния открытых струн.
7.1,1. Структура древесных амплитуд
Основные ингредиенты для построения фейнмановских диаграмм - это
пропагаторы и вершины взаимодействия; их мы сейчас по очереди и
рассмотрим. Стандартный фейнмановский пропагатор для обычного скалярного
бозонного поля ф с массой т2, удовлетворяющего уравнению Клейна - Гордона
(? -f-_|_ т2) ф = 0, есть просто (IZI+m2)-1, т. е. оператор, обратный
оператору Клейна - Гордона. Ближайший аналог уравнению Клейна - Гордона в
теории струны есть условие массовой поверхности (L0- 1)! Ф> = 0, на
которое можно смотреть как на бесконечномерное обобщение этого уравнения.
Таким образом, правдоподобной гипотезой для струнного пропагатора
(опуская обычный множитель -г'е) будет
1
A = (L0-l)-l = \z^-2dz. (7.1.1)
о
Следующим базисным элементом фейнмановских диаграмм является вершина
взаимодействия. Любую струнную диаграмму древесного или однопетлевого
уровня можно представить в таком виде, чтобы с каждой вершиной была
связана по крайней мере одна внешняя частица, как на рис. 7.2, а и 7.2,
Ь1), и в отличие от внутренних линий эти внешние линии соответствуют
физическим состояниям струны, лежащим на массовой поверхности. Итак, мы
должны найти вершину взаимодействия или "вершинный оператор",
изображающий испускание или поглощение внешнего состояния из внутренней
линии. Некоторые свойства таких "вершинных операторов" мы обсуждали на
качественном уровне в первой главе; мы говорили там, в частности, о том,
почему естественно ожидать, что в квантовой теории поля, управляющей
движением струн, эти операторы будут локальными объектами. Некоторые
чисто математические свойства вершинных операторов уже обсуждались в
разд. 2,2.3, причем в виде, хорошо приспособленном к развиваемому сейчас
•) В любой диаграмме, содержащей более одной петли, есть по крайней мере
одна вершина, соединяющая три внутренние линии, как это показано на рис.
7.2, с..
7.1. Открытые бозонные струны
397
формализму. Любому физическому состоянию из спектра открытой струны,
имеющему импульс сопоставляется вершинный оператор:
Vx (k, т) = eixL°Vx (k, 0) e~ixL\ (7.1.2)
описывающий испускание состояния Л из а = 0 конца открытой струны в
момент собственного времени т. Удобно положить
а)
\
/
/
\
с)
Рис. 7.2. Для построения древесных (а) или однопетлевых (Ь) амплитуд на
массовой поверхности достаточно иметь вершину, описывающую испускание
внешней частицы из внутренней линии. В двухпетлевой диаграмме, рис. с),
мы впервые сталкиваемся с вершиной, в которой все три сходящиеся линии -
внутренние; в теории струн такие вершины представляют собой неизмеримо
более сложные объекты.
z = ен. Вершинный оператор в (7.1.2) должен иметь конформную размерность
/ = 1, т. е.
[Lm, Vk (k, z)] = (z-+> -iL + """) Vx (k, z). (7.1.3)
Сами вершинные операторы строятся как нормально упорядоченные выражения
из поля
X^lz) = хм' - ip'1'In z + i ^ -jj- (tnZ~n (7.1.4)
п Ф 0
и его производных. (На протяжении всей этой главы мы будем считать наклон
реджевской траектории а' = 1 /2.) Вот формула для тахионного вертекса:
V0(k, z)= : е'**<г> : , (7.1.5)
где k2 = 2. Удобно записать этот вертекс в виде Vo=Z0W0, где оператор Z0
содержит только нулевые моды,
Z0 = ехр (ik ¦ х + k • р In z) = eikxzk,p+l =zk ')~leik x, (7.1.6) a W0 -
все остальное:
398
7. Древесные амплитуды
(такое выражение мы будем называть нормально упорядоченным). Аналогично
вершинный оператор для безмассовой векторной частицы с импульсом № и
поляризацией k) есть
Vfc, k, z)=?-X(z)eik XW. (7.1.8)
Здесь необходимо положить k2 - %-k =0, и тогда нормальное упорядочение
становится несущественным. Точкой обозначено дифференцирование по т= -г
In г.
Структура диаграмм в обычной теории возмущений (для точечных частиц)
наводит на мысль, что Af-частичная древесная амплитуда для открытой
струны задается последовательностью
Рис. 7.3. Из условия древесной унитарности вытекает, что Af-частичная
амплитуда для набора 1, 2, 3, ..., М. в канале 1, 2, 3, ..., РР1, ..., М
должна иметь вычет, представимый в виде произведения древесных амплитуд
для наборов 1, 2, 3, ..., Р и f+1, ..., М.
