Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
который будет сокращать множитель И (а -су[)2 из (7.1.44) для координат,
по которым мы решили не интегрировать. Этот детерминант есть не что иное,
как якобиан преобразования от уА, ув и ус к Я_ь Ко и Яь Из определения
(7.1.32) видно, что он равен
д("л' У в- Ус) д (Л-i, Ло, A"i)
1 1 1
Уа Ув Ус Уа Ув Ус
(7.1.45)
Он сразу вычисляется, и мы получаем (уА - Ув) (Уа-Ус) (Ув - •-ус). Легко
видеть, что он преобразуется как раз требуемым образом, поскольку
У А ~ у в , .Сч
У А У В / ' \ / ' \ ^ '
(а-сУл)(а-сУв)
Подводя итог, мы видим, что необходимый нам элемент объема, имеющий тот
же закон преобразования, что и наш первый кандидат Пdyi, задается
формулой
(у) = б (уА - у°А) б (ув - у°в) б (ус - у°с) X
м м
X (у А - У в) (у а - Ус) (у в - Ус) П 0 {У1-\ - Уд П dyh (7.1.47)
1=2 j=l
Итак, наша цель достигнута. Выражение (7.1.47) и есть та правильная мера,
которая стояла в предыдущих формулах; например, (7.1.26) соответствует
выбору оо, у\-*\, Ум~+ 0. Чего мы достигли - так это понимания того
замечательного факта, что (7.1.47) возникает из некоторого вполне
симметричного по всем переменным выражения в результате процедуры
"фиксации калибровки", родственной процедуре Фаддеева - Попова, причем
конкретный выбор этой калибровки полностью находится в наших руках.
Вернемся к вопросу о циклической симметрии амплитуд. Любое преобразование
группы SL(2,R) монотонно отображает вещественную ось на себя с
сохранением циклического порядка переменных уи При этом можно найти такое
преобразование, чтобы вершинный оператор, стоящий "последним" на
вещественной оси, отобразился в у = + оо, и тогда, пройдя через точку у =
- оо, он окажется "первым" в преобразованной цепочке
412
7. Древесные амплитуды
вершинных операторов. Фактически это все, что требуется для
доказательства необходимой для унитарности циклической симметрии, если
еще мы сможем показать, что
V (1) V (2) ... V (М) = V (М) V (1) ... V(M-l). (7.1.48)
Тогда формула (7.1.41) будет верна и для тех SL(2, R)-преобразований,
которые порождают циклические перестановки. Для
illliillflill iiilliilill;
- *¦ '-К-X' ¦'-- -X х - *--'Х - )<:' X' X' •-
Ум Ум-1 ' ' * v2 vt Ух V* /*_, • • •
Рис. 7.8. Преобразование SL(2, R) может превратить вершинный оператор,
стоящий "последним" в цепочке из М вертексов, в "первый".
¦определенности мы рассмотрим случай, когда вершинные операторы- это
операторы испускания тахиона, само же утверждение является вполне общим.
Ключевую роль будет играть тождество
V0 (ku ух) V0 (k2, у2) = V0 (k2, y2) V0 {ku y{) exp [mkx • k2e. (г/, -
y2)],
(7.1.49)
где e(x) равно +1 при x > 0 и -1 при xCO. Одно из возможных доказательств
содержится в приложении 7.А, другое доказательство основано на
общеизвестном тождестве
еАеВ ==eBeAe[A.13]j (7.1.50)
верном для любого с-числового коммутатора [А, В\; иными словами, нам
необходимо установить, что
[ikx • X (г/i), ik2 ¦ X {у2)\ = nikx • k2e (ух - у2). (7.1.51)
¦Само по себе определение этого коммутатора оказывается делом довельно
деликатным, но если продифференцировать обе части по у 1, то мы приходим
к вполне однозначной и легко проверяемой формуле. Константа
интегрирования определяется затем из требования нечетности коммутатора
относительно перестановки г/i и г/2- Из (7.1.50) и (7.1.51) уже без труда
получается соотношение (7.1.49), которое, кстати, верно и для других
вершинных операторов, а (7.1.49) - это именно то, что
7.1. Открытые бозонные струны
413
нужно для вывода формулы (7.1.48). Действительно протаскивая V(M) через
все остальные вершинные операторы при условии у\> у2> • • ¦ > Ум, мы
получаем (с помощью закона сохранения импульса и условия массовой
поверхности) фазовый множитель
Г Л*-1 1
ехр^ягб^- ^ = ехр(-лИгм) = 1. (7.1.52)
Таким образом, доказательство циклической симметрии амплитуд можно
считать законченным.
7.1.4. Примеры
Начнем с простейших примеров - вершин взаимодействия для трех частиц,
лежащих на массовой поверхности. Мы по очереди будем подставлять в
формулу (7.1.15) всевозможные комбинации тахионов и безмассовых векторных
бозонов, опуская при этом очевидную дельта-функцию закона сохранения
импульса. Для трех тахионов результат очевиден:
g(0; &i I V0(62) |0; k3) = g. (7.1.53)
Для двух тахионов и одного безмассового вектора мы имеем
§(0; МУ (г, *2)10; k3) = g(0; М?-*(1)1М62)|0; k3) =
= §Z-k3 = gZ-(k3-k1)/2. (7.1.54)
В последнем равенстве мы воспользовались тем обстоятельством, что ?-&2 =
0, и законом сохранения импульса k\ + &2 + + ?3 =0. Заметим, что этот
результат имеет правильную структуру вершины взаимодействия безмассового
векторного поля с заряженным скалярным; он, в частности, калибровочно
инвариантен, т. е. обращается в нуль при ? = &2 (импульсы, естественно,
считаются лежащими на массовой поверхности и удовлетворяющими закону
сохранения). Из доказанного нами свойства циклической симметрии следует,
что тот же результат мы получим, поместив вектор в одну из обкладок:
g( 0; k3\V Q (ki)Z, • а_1 | 0; k2) = - g? ¦ • k3. (7.1.55)
