Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
(7.1.15). Рассмотрим некоторый отдельный пропагатор Д в (7.1.15).
Поскольку L0=yp2+A/',
а собственные значения N равны 0, 1, 2, ..., то полюсы появляются лишь
при тех значениях р2, которые отвечают физическим значениям массы. При
любом заданном значении массы вычет у А будет единичным оператором в этом
массовом секторе, и его можно представить в виде I'ФгХ'Фг I. ГДе ['фг)
i
суть ортонормированные состояния (число их конечно), которые порождают
этот сектор. Наше основное требование теперь можно сформулировать так:
только те состояния | грг)" которые удовлетворяют условию физичности
L"|(p> = 0 при п < 0, дают вклад в вычет. Заметим, что нет нужды
беспокоиться относительно условия с L0; ясно, что только состояния, для
которых выполнено это условие, и могут давать вклады в полюсы!
Заметим, что нам вовсе не нужно доказывать, что произвольное состояние
|а) = 1/"Д1/"+1 ... ДУл1-11Флт> (7-1.16)
404 7. Древесные амплитуды
удовлетворяет условию Lm |ос> =0, т> 0. Только те |а>, которые лежат на
массовой поверхности (аннигилируются оператором L0- 1), способны давать
вклад в вычет в полюсах (7.1.15) и соответственно должны обращаться в
нуль операторами Lm, т > 0. Если обозначить Р* оператор проектирования на
состояния с Lq = k, то нам придется доказывать, что состояния |[3>,
определенные формулой
1Р) = Л1"*>, (7.1.17)
удовлетворяют условию Lm | р) = 0, т > 0. Поскольку [L0, Lm\ = = - mLm,
то LmPl = Pl_mLm, и, следовательно, нам надо показать, что
= гп>0. (7.1.18)
Поскольку Р\~т{-L0 - m+ 1) = 0, то (7.1.18) эквивалентно
P\-m(Lm - - т+ 1)|а) = 0, т> 0, (7.1.19)
и (подставив определение а) мы видим, что утверждение будет доказано,
коль скоро мы установим, что
(Lm - L0 - m+ 1) KjvA ... I Фл1> == 0 для т > 0. (7.1.20)
Сейчас мы убедимся, что такой способ постановки задачи оказывается весьма
эффективным.
Поскольку для вершинных операторов конформная размерность /=1, то из
определения, данного в разд. 2.2.3, следует, что они удовлетворяют
(7.1.3), откуда мы получаем (вычитая уравнение с т =0 и положив z = 1)
(.Lm-L0-m+ 1) V (\) = V (1) (Lm - L0 + !)• (7.1.21)
С помощью коммутационных соотношений алгебры Вирасоро нетрудно показать,
что
<?" - L, + 1) + <?" - L" - т + 1). (7.1.22)
Из (7.1.21) и (7.1.22), вместе взятых, вытекает
[(Lm-L0-m+ 1), К"Д] = 0. (7.1.23)
Таким образом, множитель Lm - L0 - т + 1 в (7.1.20) можно шаг за шагом
двигать направо до тех пор, пока мы не придем к выражению (Lm -
L0+1)|<Pm>, которое обращается в нуль в силу физичности вектора |фм), что
и доказывает (7.1.20).
Еще один способ сформулировать тот факт, что в процессе рассеяния
рождаются только физические состояния с положительной нормой, - это
сказать, что если состояние |<pi>
7.1. Открытые бозонные струны
405
ортогонально всем физическим состояниям, то амплитуда (7.1.15) обращается
в нуль. В разд. 2.2.2 мы назвали состояние, ортогональное всему
физическому подпространству, шпурионным и показали, что любое шпурионное
состояние может быть представлено в виде
ОО
К'>= ? L_m\Xm), (7.1.24)
m = 1
где
(Z*-l + m)lxm> = 0, (7.1.25)
так что (Lo-1) 1 'Ф) = 0. Поскольку физическое подпространство было
определено как совокупность фоковских векторов, удовлетворяющих условиям
Вирасоро, то оно аннигилируется
ОО
любым оператором вида ^XnLn. Таким образом, если ф; имеет структуру
(7.1.24), то (7.1.15) обращается в нуль.
7.1.3. Циклическая симметрия
Свойство дуальности, которым обладает формула (7.1.15), никакого аналога
в обычной теории поля (для точечной частицы) не имеет, и связано это с
тем, что истинное число каналов, по которым амплитуда имеет полюсы,
гораздо больше, чем можно было заключить, ограничиваясь лишь теми
каналами, пропагаторы которых входят в (7.1.15) явно. Эти дополнительные
полюсы возникают тогда, когда бесконечные суммы, неявно присутствующие в
операторных произведениях, начинают расходиться, и именно они
обеспечивают замечательное свойство циклической симметрии Ам относительно
перестановок М внешних частиц: (1 2 ... М)->(М 1 ... М - 1). Не будь этой
симметрии, тот факт, что наша мировая поверхность конформно эквивалентна
кругу, где М частиц сидят на границе в заданном циклическом порядке,
выглядел бы совершеннейшим парадоксом. Итак, наша следующая задача -
доказательство циклической симметрии. Как только это будет проделано, мы
сможем утверждать, что унитарность выполнена во всех, а не только в
рассмотренных выше каналах. Тот факт, что струнная диаграмма обладает
полюсами сразу в нескольких пересекающихся каналах, делает совершенно
нетривиальной задачу об установлении соответствия между теорией струн и
теми обычными (точечными) теориями, которые мы получаем в
низкоэнергетическом пределе. Он же объясняет и радикала ную разницу между
числом струнных и обычных диаграмм. Особенно впечатляющей эта разница
выглядит в теории ориен-
406
7. Древесные амплитуды
тированных замкнутых струн, как мы обнаружили в гл. 1: в каждом порядке
