Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
коэффициенты вырождения массового уровня N при условии
N + ^pl-l^N (6.4.83)
определяются из формулы
ОО . ОО V оо
? dL (N) XN = M\ + 480 ? 07 (Ш) хт ) [[ (1 - xn)~2i. (6.4.84)
N - l \ 1 / 1
Множитель \/х в (6.4.84) отвечает слагаемому-1 в (6.4.83), второй
множитель есть 0г, а последний - это функция распределения для 24
бозонных координат. Число состояний гетеротической струны на массовом
уровне N дается произведением
d(N) = dR(N)dLW),
(6.4.85)
6.4. Компактификация на торы
381
возникающим при тензорном перемножении мод правого и левого секторов.
Например,
перечисляет 16-8 состояний мультиплета супергравитации и 16-496 состояний
мультиплета суперсимметричной теории Янга- Миллса в присоединенном
представлении групп Е% X или spin (32)/Z2.
Асимптотическая плотность состояний вычисляется тем же способом, что и в
разд. 5.3. А именно,
Данное нами раньше доказательство эквивалентности двух описаний
гетеротической струны, бозонного и фермионного, -было несколько
абстрактным: мы получили его просто как следствие из теоремы
единственности для алгебры токов; теперь же мы можем провести независимую
проверку этого факта, сравнивая число состояний данного массового уровня
в одном и другом подходе. Вклад восьми дополнительных измерений,
компактифицированных на тор группы Еа, в статистическую сумму есть
где первый множитель, тэта-функция решетки, генерируется нулевыми модами,
а бесконечное произведение порождается всеми остальными, т. е. ненулевыми
осцилляторами. Эта функция носит название характеристической функции ё& в
базисном представлении. Соответствующая формула в фермионной картине, где
взяты, естественно, только состояния с четным фер-мионным числом и
просуммирован вклад обоих секторов А и Р, имеет вид
d(0)= 16 • [480 + 24]
(6.4.86)
d (п) ~ д~11/2ехр [(д/2 + 2) 2л л/п\, (6.4.87)
откуда для массовой плотности получаем
р (m) ~ m~10 exp (m/m0),
(6.4.88)
где
т0 = [(2 + -д/2) л Va/j '•
(6.4.89)
ОО "I оо
ch (Ё&) = 1 + 240 ? <т3 (л) хп П (1 - хт)~8, (6.4.90)
L 1 J 1
оо
+ 128л: JJ (1 + хп)16. 1
(6.4.91)
382
6. Неабелева калибровочная симметрия
Тот факт, что эти два выражения равны, представляет собой аналог
тождества Якоби, которое служило нам в разд. 4.3.3 для доказательства
суперсимметрии. И действительно, имеет место равенство
оо . оо
1 + 480 ? ст7 (л) xaj Д (1 - хту16 =
р ОО оо _ оо
= ТI П (1 " *""I/2)32 + П О + ^~1/2)32| + 215х2 Д (1 + ха?\
(6.4.92)
а кроме того,
ch (SO (32)) = ch (Ё8 X Es) = [ch (?8)]2. (6.4.93)
Доказательство этого утверждения основывается на одной теореме из теории
модулярных форм, приведенной в приложении 6.В.
В предыдущем разделе мы уже описали спектр безмассовых состояний
гетеротической струны на бозонизованном языке, рассмотрим теперь первый
возбужденный уровень N=1. 256 правых мод представляются как
(44, 1) (c) (84, 1)(c)(128, 1). (6.4.94)
Первое число в скобках относится к группе spin(9) (это "спин"), а второе
- к Esy(.Ea, или spin(32)/Z2, и этот мультиплет был подробно описан в
разд. 5.3.1. Левых мод с vV = 1 имеется всего 73 764, и записываются они
следующим образом:
(44, 1) (r) (9, 496) (r)(1, 69256). (6.4.95)
Приведем их явную конструкцию. Массивный тензор (44, 1) составлен из
aL^'lJO), аг_2|0). (6.4.96)
Массивные векторы (9, 496) разлагаются относительно 50(8) на (8, 496)
(c)(1, 496). Состояния (8, 496) суть
й^а^Ю), аг_! | К), (6.4.97)
где К2 = 0. Остающиеся (1, 496) составляются из а^_2|0) и 480 состояний
| ^С) с К? = 4. Поскольку в решетке имеется всего
61 920 узлов с К2 = 4, то свободными остаются еще 61 440
штук,
которые вместе с 136 состояниями вида
a^a^lO) (6.4.98)
ch (50 (32))
6.5. Резюме
383
и 7680 состояниями вида
вМ*), К2 = 2, (6.4.99)
и образуют (1, 69256).
По группе Es X Е8 этот мультиплет разлагается как
69256 = (248, 248)(r)2(1, 1)(r)(3875, 1)(r)(1, 3875), (6.4.100) а по группе
spin (32) -как
69256 = 215(c) 35960 (r) 527 01. (6.4.101)
Мультиплет 35 960 представляет собой антисимметричный
тензор четвертого ранга, а мультиплет 527 - симметричный бес-следовый
тензор второго ранга. Перемножив тензорно правые и левые моды, получаем
всего
256 X 73764 = 18883584 (6.4.102)
состояния на первом возбужденном уровне гетеротической
струны! На этом уровне спиноры spin(32)/Z2 должны быть абсолютно
стабильны, что представляет собой довольно интересное предсказание в
такой теории.
6.5. Резюме
В этой главе мы описали два метода введения калибровочных симметрий в
струнных теориях. Метод Чана - Патона, который восходит ко временам
возникновения дуальных моделей, состоит в помещении "зарядов" на концах
открытой струны. Им можно воспользоваться в случае любой классической
группы, сопоставляя испускаемым струнам матрицы из фундаментального
представления. Однако в случае исключительных групп он неприменим. В гл.
10 мы еще покажем, что единственная возможность получить для суперструны
типа I теорию, свободную от аномалий, - это фиксировать в качестве
