Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 163

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 157 158 159 160 161 162 < 163 > 164 165 166 167 168 169 .. 212 >> Следующая

вещественную ось в себя. Нетрудно проверить и другое, менее очевидное
свойство этой группы. А именно, если мы аналитически продолжим у на всю
комплексную плоскость, то SL(2,R) будут отображать верхнюю "/-
полуплоскость опять-таки в себя. Более того, можно определить SL(2,R) как
группу таких взаимно однозначных отображений у^у верхней полуплоскости на
себя, что у зависит от у только аналитически. Все преобразования у^-у с
аналитическими и однозначными (в интересующей нас области) функциями -
это конформные преобразования, а те из них, которые отображают на себя
верхнюю полуплоскость, образуют подгруппу всей конформной группы, она-то
и есть группа Мёбиуса SL(2,R).
Именно по этой причине группа SL(2,R) (и SL(2, С), которая точно таким же
образом появляется в теории замкнутой струны) и возникла в гл. 1.
Действительно, нашей исходной
(7.1.35)
(7.1.34).
7.1. Открытые бозонные струны
409
точкой было действие, обладающее двумерной общекоординатной
инвариантностью, затем мы выбрали координатную систему так, что метрика
приняла форму ds2 = e^\dy\2. Такая координатная система фиксируется
далеко не однозначно, поскольку при конформном отображении у-*-у метрика
переходит в ds2 = = ev\dy/dy\2- \dy\2, иными словами, сохраняет исходную
форму. Вот почему при ковариантном квантовании группа SL(2,R) всплывает
как "группа симметрии вакуума". Напомним, что сами конформные отображения
мировой поверхности струны на себя были в первой главе лишь остатком
исходной общекоординатной инвариантности, выжившим после фиксации
конформной калибровки. Эта остаточная симметрия, в свою очередь,
фиксировалась с помощью процедуры Фаддеева - Попова.
Вернемся к нашим древесным амплитудам. Внимательное изучение формул
(7.1.33) показывает, что при п= 1, 0, -1 переменные у и y' = e*'Lny
связаны следующим соотношением:
= (°У +d)~2 = ia - су')2. (7.1.36)
В качестве проверки этой формулы достаточно заметить, что каждое из трех
выражений равно: 1 при д =-1, при п = О и (1-Яг/)-2 при /г = 1. Таким
образом, экспоненцируя (7.1.31), получим
<P*yaV (k, у) = (y'f V (k, у'), (7.1.37)
и деля обе части этого равенства на уп+1, выводим, что для любого SL (2,
R) -преобразования выполняется
Л (Т)-V (ky у) Л"1 (Г) = (а - су')2 -^'1. (7.1.38)
Учитывая еще SL (2,R) -инвариантность вакуума,
Л (Т) | 0; 0) = | 0; 0), (7.1.39)
мы получаем, что при проективном преобразовании выражение
iM(k, у) = (0; 0|--; -- ... -f y'Vf) 10; о) (7.1.40) У1 ум
преобразуется в
м
IM(k, y) = IM(k, у') П (а - су[)2; (7.1.41)
естественно, что все М штук yi подвергаются одному и тому же
преобразованию из SL(2,R). Формулу (7.1.41) часто выражают в форме
следующего утверждения: /м преобразуется от-
410
7. Древесные амплитуды
носительно SL(2,R) как величина, имеющая вес 2 относительно группы
Мёбиуса.
М-частичную древесную амплитуду можно представить в виде
где йцм(у) - взятая из предыдущих формул мера интегрирования по \)i, за
исключением тех степеней yit которые поглотились 1м- Теперь мы попробуем
переписать эту меру в виде, несколько более симметричном, чем она
представлена в (7.1.26).
Начнем с того, что рассмотрим преобразование одного-единственного
дифференциала dyi. Как видно из (7.1.34), он преобразуется следующим
образом:
и первым кандидатом на роль "правильной" меры сразу оказывается
комбинация dnM(у) = Ц dyt. Это выражение немедленно приводит нас к
проективно инвариантному результату, но все же реально стоящая в (7.1.42)
мера несколько иная. Есть несколько обстоятельств, которые оказываются
упущенными в наивном выражении. Во-первых, координаты yt соответствуют
точкам, расставленным в определенном порядке на границе мировой
поверхности струны, и это легко учесть, добавив в наивное выражение для
"правильной" меры произведение тэта-функций П0 (г/г-1 - yi)- Более тонких
рассуждений требует тот факт, что именно вследствие проективной
инвариантности, интегрируя с весом Пdyi, мы интегрируем по всем
проективно эквивалентным конфигурациям, и в результате возникает
бесконечный множитель, равный объему некомпактной группы SL(2,R).
Единственный способ избавиться от этого множителя- это вести
интегрирование, выбирая ровно по одному элементу из каждого класса
эквивалентности. Эта ситуация вполне аналогична тому, с чем мы
встречаемся в теории Янга - Миллса, где, интегрируя по вектор-потенциалу,
мы должны сократить бесконечный множитель, порождаемый вкладом
калибровочно эквивалентных конфигураций.
Поскольку у группы дробно-линейных преобразований есть три параметра (три
разных Я в (7.1.32)), всегда существует SL(2, R) -преобразование,
отображающее любые три переменные yi (обозначим их у а, Ув и ус) на любые
три фиксированные
Ам = 8М 2 S d\iM{y)IM{k, у),
(7.1.42)
или
(7.1.44)
7.1. Открытые бозонные струны
411
точки у°А, у°в и у°с, и бесконечный множитель, равный объему группы, не
будет возникать, если мы просто не будем интегрировать по уА, ув и ус.
Однако при этом необходимо учесть аналог детерминанта Фаддеева--Попова,
Предыдущая << 1 .. 157 158 159 160 161 162 < 163 > 164 165 166 167 168 169 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed