Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
вершинных операторов и пропагаторов в соответствии со следующей простой
формулой:
Ам = | V2 (k2) Л^з (k3) ... &V (7.1.9)
Эта формула - попытка найти струнный аналог древесной фейнмановской
диаграмме рис. 7.2, а, где роль вершин взаимодействия на массовой
поверхности играют вершинные операторы. Ценность этой формулы прежде
всего в том, что некоторые из свойств, обеспечивающих унитарность теории
на древесном уровне, начинают выполняться совершенно очевидным образом. В
формуле (7.1.9) есть очевидные полюса, которые появляются просто из
полюсов пропагаторов. А поскольку сами про-пагаторы - это операторы,
обратные к (L0-1), их полюса отвечают состояниям с L0 - 1=0, иными
словами, состояниям на массовой поверхности. Из унитарности вытекают еще
и следующие требования. Для любого M-частичного процесса с частицами 1 2
3 ... М вычет в полюсе, отвечающем подпроцессу 1 2 3 ... P-v(P+l) ••• М,
должен факторизоваться на произведение двух древесных амплитуд
подпроцессов 12 3 ... Р X и X (Р+1) ... М, как изображено на рис. 7.3.
Более тонкое
7.1. Открытые бозонные струны
399
требование, тоже вытекающее из унитарности, состоит в том, что
"времениподобные" состояния, лежащие на массовой поверхности (имеющие
отрицательную норму), не должны давать вклада в (7.1.9), и мы покажем,
что это требование выполнено в силу основного свойства вершинных
операторов (7.1.3). Еще одно свойство амплитуды, которое в (7.1.9) прямо
не просматривается, состоит в том, что она обладает полюсами и по другим
подпроцессам, таким, как 2 3 ... Р-"-(Р + 1) ... М 1. Ясно, что
фактическая симметричность нашего выражения относительно циклических
перестановок внешних частиц есть не что
Рис. 7.4. В теории поля древесная амплитуда для М частиц 1, 2, 3, ..., М
представляется в виде суммы целого набора фейнмановских диаграмм,
отвечающих полюсам в различных частных каналах.
иное, как свойство дуальности - одно из свойств, из-за которых теория
струн вызывает особый интерес. Мы обсудим дуальность позднее в этой
главе.
Формула (7.1.9) возникла у нас как теоретико-струнное обобщение древесной
диаграммы рис. 7.2, а, но в обычной теории поля наряду с этой диаграммой
имеется и еще целое семейство различных диаграмм с полюсами в других
каналах, как на рис. 7.4. На первый взгляд представлялось бы естественным
искать струнного обобщения и для всех этих диаграмм тоже, но именно здесь
нас поджидает сюрприз, причем не случайный, а связанный с одним из
основных свойств теории стэун. Хотя формула (7.1.9) получена как
обобщение одной-единственной фейнмановской диаграммы рис. 7.2, а, она на
самом деле соответствует сразу всему вышеуказанному семейству обычных
диаграмм. Этой формулой и исчерпывается древесная амплитуда в теории
струн. Фактически именно с поисков формулы, обладающей свойством
дуальности, и началась теория струн; об этом мы говорили в первой главе.
Чтобы пролить некоторый свет на источники возникновения дуальности, а
заодно и установить более тесную связь с тем формализмом, который
использовался для описания древесных амплитуд в гл. 1, необходимо сделать
небольшое отступление. Для определенности положим, что как начальное, так
и конеч-
400
7. Древесные амплитуды
ное состояния в (7.1.9) являются тахионами с импульсами k\ и kM
соответственно. На первый взгляд может показаться, что для вычисления
(7.1.9) необходимо иметь явный вид волновых функций этих двух состояний,
но хотя такой способ действий вполне разумен и в некоторых вычислениях мы
действительно используем представление волновых функций в виде фоковских
векторов, можно воспользоваться и фейнмановским функциональным
интегралом, который дает всем известный альтернативный способ описания
низколежащих состояний квантовой
ю;о> |о;р> |л;р>
Ь) с)
t У0(Р) t Ъ(Р)
Рис. 7.5. Волновая функция основного состояния открытой струны (тахиона с
нулевым импульсом) |0; 0> представляется в виде фейнмановского
функционального интеграла по полубесконечной полосе, рис. а). Если же мы
интересуемся низшим состоянием с импульсом k, т. е. ]; k), то надо
вставить в далеком прошлом некоторый оператор, несущий этот импульс k\
естественный выбор - это вершинный оператор тахиона Va(k), рис. Ь). В
общем случае волновую функцию любого физического состояния | Л; ky. можно
получить, поместив в далеком прошлом на полубесконечной полосе оператор
VА (ft), рис. с).
системы. Так, волновую функцию основного состояния 10, 0) (напомним, что
|0; ky - это тахион с импульсом k) можно представить в виде
функционального интеграла по полубесконечной полосе, изображенной на рис.
7.5, а. Как это часто бывает удобным при работе с функциональным
интегралом, мы сделаем на мировой поверхности виковский поворот так,
чтобы интерпретировать полосу на рисунке как часть евклидовой мировой
поверхности с положительной сигнатурой. Если нас интересует волновая
функция какого-то другого состояния, то необходимо поместить в "далеком
