Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
означающего, что е является Z2-3Ha4HbiM два-кодиклом.
Все, что нам остается сделать для доказательства симметрии,- это
предъявить явную конструкцию с и е. К этой задаче мы и переходим.
6.4.5. Формулы для коциклов
Теперь мы знаем, как строятся генераторы, отвечающие некоторой группе
симметрии G. Картановская подалгебра представляется внутренними
импульсами Н1 = prL, а операторы Ек = Акск ассоциируются с корнями /Се
Аг. Множители Сц{'р) зависят от оператора импульса р[ (для простоты мы
будем: записывать его как р), но никак не связаны с осцилляторами других,
ненулевых частот. Однако наше доказательство остается неполным до тех
пор, пока мы не установим существование операторов ск(р), удовлетворяющих
фундаментальному соотношению
Ск(Р~ К')сК'(р) = е(К, К')ск+к'(р), (6.4.63)
и в этом разделе мы предъявим их явную конструкцию.
В теории гетеротической струны левые импульсы, связанные с 16
компактифицированными измерениями, лежат в узлах одной из двух
автодуальных четных решеток Гв X Гв или Tie-Обозначим е[ базисные векторы
этих решеток. Тогда внутренние импульсы можно записать в виде
m
К/=Т, гпМ, (6.4.64)
t=i 1 1
где mi - произвольные целые числа.
376
6. Неабелева калибровочная симметрия
Дальнейшая конструкция существенно зависит от выбранного нами способа
упорядочения этих 16 базисных векторов.
Определим операцию упорядоченного перемножения *:
К * к;' = ? mlm'eiej. (6.4.65)
i>i 1
Такое произведение всегда будет целым числом. Положим теперь
ск(р) = (-1ГК. (6.4.66)
Легко видеть, что при таком определении мы легко удовлетворим (6.4.63),
если
е(К, Г) = (-1)***'. (6.4.67)
При этом будет автоматически выполнено и условие два-ко-дикла (6.4.62).
В данной конкретной конструкции имеются еще специальные соотношения
г {К, Г) в (Г, /С) = (-1)*-*',
е(К, 0) = в (0, /С) = 1, (6.4.68)
ск(р)ск' (р) = ск+к'(р)-
Во всем этом есть определенная доля неоднозначности, но любые два решения
фундаментальных соотношений эквивалентны.
6.4.6. Полная алгебра токов
В разд. 6.4.4 и 6.4.5 мы явно описали построение генераторов глобальной
симметрии Е8 X Es в теории гетеротической струны. Эти заряды оказались
распределенными по всей длине струны, и, следовательно, можно определить
соответствующие плотности для каждого из этих зарядов. Набор этих
плотностей образует алгебру Каца - Муди, называемую аффинной алгеброй Е8
X Ев. Абстрактное описание этой алгебры уже встречалось нам в разд.
6.2, где мы обнаружили, что левые токи
должны образовывать алгебру следующего вида:
[Л (а) Д (а)] = 1ГЪсП (а) 6 (а - а') + - А- баЬ6' (а - а'). (6.4.69)
В разд. 6.2 мы описали фермионные представления для аффинных алгебр SO
(2d) при k=l. Для группы ?i8 X Е8 мы смогли явно представить, используя
32 фермионные координаты, лишь ее подалгебру 50(16)Х*50(16), но
обнаружили, что если это
6.4. Компактификация на торы
377
представление допускает расширение до полной аффинной алгебры Eg X Eg, то
мы получим правильное значение аномалии (с = 16) в алгебре Вирасоро.
Вся конструкция генераторов группы Eg X Eg, описанная в предыдущих
разделах, основана на использовании 16 левых бозонных координат. Их вклад
в аномалию алгебры Вирасоро в точности равен вкладу 32 фермионных
координат: с =16, и, следовательно, в силу единственности представления
эти два способа описания теории должны быть полностью эквивалентны.
Замечательно то, что теперь нам удалось получить исчерпывающее описание
полной алгебры, а не только ее подалгебры 50 (16) X 50(16). Более того,
из предыдущих формул легко извлечь и явные выражения для самих токов. С
элементами картановской подалгебры ассоциированы токи
Н' (о) = JL 4 (о) = ±(Pi + ? , (6.4.70)
V пф О /
а с генераторами Ек = Акск - токи
Ек(о) = ±У(К, г)ск, (6.4.71)
где z = exp(2ia). То, что эти токи образуют аффинную алгебру Е8Х Е8 с k =
I, следует прямо из построения.
6.4.7. Решетки для групп Еа и spin(32)/Z2
Решетки Г8 и Г]6 играют в теории очень важную роль, поэтому
представляется уместным дать их явное описание.
Начнем с группы Е8. Эта группа с простыми связями имеет ранг восемь и
размерность 248. Следовательно, в ее решетке корней имеется 240 корней с
квадратом длины, равным двум. Эти корни могут быть выражены через восемь
ортонормирован-ных векторов щ\
± ut ± и,, i ф], i, j= 1,2,..., 8, (6.4.72)
-^-(± ± "2 • • ¦ ± us)> число знаков "+" четно. (6.4.73)
112 корней в (6.4.72) образуют систему корней для подалгебры spin (16)
алгебры Eg, а 128 корней в (6.4.73) описывают веса одного из спинорных
представлений spin (16). Вместе взятые, они описывают Eg, поскольку ее
разложение относительно максимальной подалгебры spin(16) как раз имеет
вид 248 = 120 + + 128 (см. приложение 6.А). Решетка Г8 - это решетка,
порож-
378
6. Неабелева калибровочная симметрия
денная этой системой корней. Легко видеть, что она будет четной целой
решеткой. Чтобы проверить ее автодуальность, нам надо показать, что если
для любого вектора е из Г8 произведение (и, е) является целым числом, то
