Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
струны первый вариант приводит к калибровочной группе Е8 X Е&, а второй-
к SO (32) . Обе эти теории, построенные с помощью решеток, и ЕеУ. Es, и
SO(32), полностью совпадают с теми двумя теориями, которые были построены
с помощью фермионного формализма в разд. 6.3. Например, в решетке Ti6
помимо решетки корней группы SO (32) содержатся веса, ассоциированные с
одним из двух спинорных классов эквивалентности, описанных в приложении
5.А. Таким образом, набор представле-
368
f. Неабелева калибровочная симметрия
ний, содержащийся в Г^, соответствует группе spin (32) /Z2, что как раз и
утверждалось в разд. 6.3.1. Далее в этом разделе мы еще вернемся к
решеткам Г(r) и Tie-
6.4.4. Представление вершинными операторами
Теперь мы вполне готовы к тому, чтобы довести до конца построение
бозонного представления алгебры токов, что в свою очередь позволит нам
наконец полностью разобраться с калибровочной симметрией в теории ?8Х?в-
В рамках фермионной конструкции гетеротической струны нам удалось без
большого труда явно доказать наличие в теории SO (32) или SO (16) X
50(16) симметрий, но появление группы Es X Е8 оставалось довольно
загадочным. В бозонной же формулировке мы обнаружили, что левые
координаты компактифицируются на максимальный тор группы ?8Х?8, а
сопряженные импульсы соответственно оказываются лежащими на решетке Ts X
Tg- Естественно предположить, что именно в таком подходе нам наконец
удастся "поймать" нашу симметрию, и именно этому занятию мы посвятим этот
раздел1).
Наш стратегический план заключается в следующем: мы явно представим
генераторы группы на языке вершинных операторов, а потом проверим, что
они действительно удовлетворяют правильным перестановочным соотношениям.
Если же при этом окажется (а так оно, конечно же, и будет), что
построенные генераторы коммутируют с оператором квадрата массы, то мы
получим искомое доказательство симметричности теории, поскольку тогда
набор состояний на каждом массовом уровне будет образовывать пространство
представления рассматриваемой группы.
Начнем с того, что сделаем несколько общих замечаний относительно
устройства алгебр Ли с простыми связями. Для группы ранга d прежде всего
выделим максимальную коммутативную подгруппу [U(\)]d, отвечающую так
называемой картанов-ской подалгебре. Обозначим ее коммутирующие
генераторы Н,\
[Н,, Я/] = 0. (6.4.35)
Собственные значения Hi (для любого состояния в любом представлении)
соответствуют точкам в (i-мерном "пространстве
*) Основная конструкция была предложена Френкелем, Кацем и Сигалом на
основе предшествующих работ Леповского и Вилсона. Для физиков она была
адаптирована Годдардом и Оливом. Для некоторых частных случаев она была
ранее описана Гальперном (его как раз интересовали приложения к теории
струн) и Бэнксом, Хорном и Ньюбергером и другими.
6.4. Компактификация на торы
369
весов" Rd\ оставшимся п - d генераторам (п - размерность группы) отвечают
корневые векторы К е Rd\ для рассматриваемых групп все они имеют один и
тот же квадрат модуля, и если положить его равным двум, они порождают
четную целую решетку Г. Эти генераторы мы будем обозначать Ек. Они
являются "заряженными" в том смысле, что они сдвигают собственные
значения Я7 на Ki¦ Таким образом,
[Н" Ек]=К,Ек. (6.4.36)
Чтобы закончить описание алгебры Ли в этом базисе, необходимо еще
предъявить правила коммутации Ек и Ек\ Если коммутатор отличен от нуля,
то его полный заряд должен быть равен К + К', а поскольку К + К'
принадлежит четной решетке Г, то для (К + К')2 возможны только значения
0, 2, 4, 6, 8. Однако ни одно из чисел 4, 6, 8 (они получаются при К-К'^
0) не может соответствовать заряду никакого генератора, поскольку в нашей
алгебре квадрат длины любого корня равен в точности двум. Итак, мы с
необходимостью получаем
[Ек, ЕК'\ = 0, если К-К'>0. (6.4.37)
Единственная возможность для коммутатора [Ек, ЕК'\ не обратиться в нуль -
это когда в алгебре Ли есть оператор Ек+к с "зарядом" К+ Л'71). Если
такой корень действительно имеется, то мы получаем
[Ек, Ек-] = е{К, К')ЕК+К', если К-К' = -1. (6.4.38)
При соответствующей нормировке Ек коэффициенты г {К, К') могут быть
выбраны равными ±1. Для интересующих нас случаев явная конструкция е(К,
К') приведена в разд. 6.4.5. Последний вариант, который остается
рассмотреть, - это К -\-К'- 0, т. е. коммутатор, имеющий нулевой заряд.
Наиболее общий вид правой части будет даваться здесь линейной комбинацией
генераторов картановской подалгебры, и при соответствующей нормировке мы
получаем
[Ек, Ек>]='?К1Н1, если К + К' = 0. (6.4.39)
/
Эта формула также будет воспроизведена в дальнейшей конструкции.
Пусть дана четная целая решетка Г; теперь наша задача - построить алгебру
операторов, удовлетворяющих приведенным
*) Такой корень, если он существует, всегда определяется однозначно;
общий факт из теории алгебр Ли состоит в том, что никакие два генератора,
не лежащие в картановской подалгебре, не могут иметь одинаковых зарядов.
