Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 148

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 212 >> Следующая

370
6. Неабелева калибровочная симметрия
выше перестановочным соотношениям, причем операторы Ек должны
соответствовать точкам с квадратом модуля, равным двум. В случае успеха
этой программы мы, естественно, получим и доказательства для ряда
утверждений, сформулированных выше. В качестве первого шага естественно
принять следующую схему включения корневых векторов: пусть операторы Ек
содержат множитель ехр [2iK-xL\, а
Н1 = р!ь. (6.4.40)
Этих двух условий вполне достаточно, чтобы удовлетворить
(6.4.35) и (6.4.36), и, кроме того, они не противоречат свойствам
коммутатора [Ек, Ек-]. Итак, остается закончить описание операторов, но
именно этот шаг оказывается весьма нетривиальным.
Присутствие в Ек множителя exp (2iK-xL) наводит на мысль, что будет
полезно рассмотреть струнный вершинный оператор
V0(K, z)=:exp[2iK • XL{z)\ :, (6.4.41)
где
z = exp [2i (т + cr)]. (6.4.42)
Действительно, в теории струн выражение ехр (2iK-xL) выглядит довольно
искусственно, если его не обобщить как в (6.4.41). На языке мод вершинный
оператор записывается следующим образом:
V0 (К, z) = ехр (2iK ¦ xL + К • pL In z) X
Xexp^-^/C • a_"zre^exp^- ? \ К • апг~п^. (6.4.43)
Его конформная размерность равна К2/2, и, следовательно, для
интересующего нас случая К е Лг мы получаем 7=1. Однако операторы Vo(K,z)
не коммутируют с Ь0 и явно зависят от г и потому сами по себе никак не
могут являться решением нашей задачи. Очевидный способ избавиться от этих
двух недостатков - это выделить из Vo нулевую моду
Я
AK = ^\V0 (К, z)dx = § -^Vo (К, z). (6.4.44)
о
Здесь мы воспользовались тем обстоятельством, что, когда т пробегает
значения от 0 до я, координата z в (6.4.42) проходит единичную окружность
в комплексной плоскости в направлении против часовой стрелки. Очевидно,
что радиус окружности можно свободно варьировать как в ту, так и в другую
сторону, пока
6.4. Компактификация на торы
371
не встретится первая сингулярность. Само по себе наше выражение не
содержит никаких явных сингулярностей, но необходимо помнить, что мы
имеем дело с оператором и сингулярности могут появляться после умножения
его на некие другие операторы. В дальнейшем это свойство окажется для нас
очень существенным.
Для того чтобы интеграл в (6.4.44) был корректно определен, необходимо
потребовать, чтобы у V0{K,z) не было существенной особенности в начале
координат. В этом случае, если какие-то существенно особые точки и начнут
появляться из операторных произведений, мы всегда сможем взять достаточно
малый радиус и подынтегральное выражение будет однозначной функцией. К
счастью, именно в такой ситуации мы и находимся: собственные значения pL
принадлежат решетке Г, а для любого рь е Г рь-К есть целое число. Таким
образом, для любых допустимых pL никакой существенно особой точки при 2 =
0 у V0(/С, г) нет, и вдоль контура достаточно малого радиуса
подынтегральное выражение будет вполне однозначным. Из того факта, что
при К е Лг у Vo(K,z) будет /= 1, немедленно вытекает, что
[Ln, Vo {К, г)\ = г-^ (znV0 (К, z)). (6.4.45)
Таким образом,
ILn, Ax} = §-^r-^-(2nV0(K, 2)) = 0. (6.4.46)
Отсюда следует, что операторы Ак отображают физические состояния в
физические состояния.
Операторы Ак оказываются очень удачными кандидатами на роль генераторов
Ек. В них не хватает лишь сравнительно простого дополнительного
множителя. Чтобы разобраться во всей этой механике, необходимо прежде
всего исследовать алгебру самих Ак. При умножении пары таких операторов,
естественно, перемножаются и вертексы1) Vo(K,z) и Vo(K',w), стоящие в
подынтегральных выражениях, а при z = w это операторное произведение,
конечно же, сингулярно. Чтобы явно увидеть эту сингулярность, удобно
привести все произведение к нормальной форме. Делается это с помощью
известной формулы ехр А -ехр В = ехр В -ехр А -ехр [А, В], справедливой
во
*) Вертекс и вершинный оператор - это синонимы, мы будем пользоваться то
одним, то другим в зависимости от контекста. - Прим. перев.
372
6. Неабелева калибровочная симметрия
всех случаях, когда [А, В] является с-числом. Член [А, В\ содержит
оо
(тО" = * • И* - w/z) (6.4.47)
1
от а-осцилляторных слагаемых и
- \к- K'\n(w/z) (6.4.48)
от нулевых мод. Собрав все это вместе, мы видим, что
V0 (К, z) F0 (Г, w) = {wzy(tm) (z - wf'K' X
X : ехр [2iK -X(z) + 2Щ' ¦ X (ay)]:. (6.4.49)
Однако эта формула справедлива только при |да|<|г|, в противном
случае бесконечный ряд, дающий степень г-w, рас-
ходится.
Если использовать теперь формулу (6.4.49) для вычисления произведения
АКАК', то необходимо позаботиться, чтобы радиус контура интегрирования у
AK(\z\) был больше соответствующего радиуса для AK>(\w\), иначе мы
столкнемся с плохо определенным выражением. Если изменить порядок
сомножителей в произведении на противоположный, то результат будет
отличаться в двух отношениях. Во-первых, поскольку теперь Ак будет справа
от Ак>, то контуры надо выбрать так, чтобы \w \ >
>Ы. Во-вторых, множитель (z - w)KK заменится на
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed