Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
\ К К*
{w - z) , что, однако, не приводит ни к каким сложностям
К. К'
с разрезами, а лишь выкидывает множитель (-1) , так как
К-К' всегда целое. Теперь мы видим, какая комбинация операторов дает
удачное сочетание контуров интегрирования:
А-кАк-(-О АК'АК =
С dw С dz , \К К'/ \-К К'12
= <У w<y-2S5T<z-a') {wz> х
W
X : ехр [2iK ¦ X (z) + 2iK' ¦ X (а")]:. (6.4.50)
В первом слагаемом в (6.4.50) контуры выбираются так, чтобы |z|>|tw|, а
во втором - так, чтобы jг| <Г | ау ]; они изображены на рис. 6.5, а. В
разности 2-контуры подбираются так, что остается лишь один контур,
окружающий лишь те сингулярности, что заключены между двумя этими
окружностями. Поскольку у нас имеется лишь одна потенциально сингулярная
6.4. Компактификация на торы
373
точка при z=w, то в итоге мы получаем г-контур вокруг точки w, как это
указано в (6.4.50) и на рис. 6.5,6.
Как мы выяснили ранее, произведение К-К' может принимать лишь целые
значения, причем лежащие в интервале от -2 до 2, и, следовательно,
результат интегрирования по г будет отличен от нуля лишь при К-К' = -1
или -2. (В противном случае точка z = w будет регулярной.) Оба этих
интеграла
Рис. 6.5. Контуры z-интегрирования для AkAk, и Ak,Ak выбираются так*
чтобы точка w лежала соответственно вовне или внутри контура, рис. а)..
Таким образом, разности отвечает контур вокруг единственной потенциально
сингулярной точки z = w, рис. Ь).
легко вычисляются по формуле Коши. При К-К' - -1 сумма К + К' е Лг, полюс
оказывается простым и мы немедленно получаем
(_!)*¦*' Ак.Ак = Ак + к> для К-К' = -1. (6.4.51)
При вычислении этого вычета мы воспользовались тем, что
1
(wz)'
-К-К'12
1.
(6.4.52)
Случай К-К'= -2 тоже не представляет труда, поскольку здесь К + К' = 0.
Собственно вычет дается тогда выражением
{ 4- (wz)-*-*'12: exp [2iK ¦ X (z) + Ж'Х (ш)]: } (6.4.53)
при z = w, а если учесть К-К' = -2 и /С + /С' = 0, то остается просто
w^-(2iK-X(w)).
(6.4.54)
Интегрирование по w сводится к выделению из этого выражения константного
члена разложения в ряд Лорана, т. е.
д
w
дш
(К • pL In w) = К ¦ pL.
(6.4.55)
374
6. Неабелева калибровочная симметрия
Подставляя сюда p'L = H', мы получаем АКАК> - (- 1)*'*' АК'АК = X К1Н[
для К-К'= -2. (6.4.56)
В целом построенные нами операторы Ак удовлетворяют нужной алгебре,
однако имеется одно существенное отличие: при нечетных К-К' в формуле
(6.4.51) вместо коммутаторов появляются антикоммутаторы. На первый взгляд
отсюда можно заключить, что мы просто столкнулись с градуированной
алгеброй Ли (как в суперсимметрии), но это не так. То правило, которое
указывает нам, с чем именно, т. е. с коммутатором или антикоммутатором,
мы имеем дело, не позволяет разделить все операторы на два класса (четные
и нечетные), но, напротив, довольно специальным образом зависит от
соотношения их индексов. Чтобы эта система коммутаторов и
антикоммутаторов действительно превратилась в искомую алгебру Ли и мы
могли получить настоящие генераторы Ек, необходимо домножить Ак на
некоторые "коциклы".
Поставим в соответствие каждому корню К е А2 алгебры Ли G по генератору
Ек = А%ск, (6.4.57)
где ск - некоторый поправочный множитель, который мы подберем так, чтобы
соотношения (6.4.51) превратились в настоящие коммутаторы. При каждом К
этот множитель ск будет зависеть от оператора импульса pL и не будет
содержать зависимости ни от каких других осцилляторов. Таким образом, мы
можем рассматривать ск как оператор умножения на функцию от импульса. Как
следует из алгебры (6.4.51), для того чтобы перестановочные соотношения
для Ак перешли в коммутаторы для Ек, необходимо потребовать выполнения
для ск(р) следующего соотношения:
с* (р - К') сК'(р) = (-1 )*"сК'(р - К) ск (р). (6.4.58)
Для приведения (6.4.51) к коммутаторному виду этого условия вполне
достаточно, но чтобы получить замкнутую систему коммутаторов (в правой
части (6.4.51) должны стоять те же операторы, что и в левой), необходимо
еще потребовать, чтобы произведение двух ск опять-таки было неким ск.
Итак, мы полагаем
Ск(Р~Юск'(р)=г(К, К')ск+1С(р), (6.4.59)
где множитель е(К,К') равен ±1. Действительно, как видно из (6.4.51), эти
в можно отождествить с множителями, появляющимися в правой части
(6.4.38), а значит, в случае успеха в поиске ск(р) с указанными
свойствами мы еще и докажем, что
6.4. Компактификации на торы
375
для любой алгебры Ли с простыми связями верна формула (6.4.38) (а
также предыдущие формулы). Ограничения на
г (К, К') мы можем получить, вычисляя двумя разными спосо-
бами с помощью (6.4.59) произведение (cKcK') ск"=ск ¦ {сщ'ск"). Итак:
с к (р ~ К' - К") \сК' (р - К") ск" (р)] =
= е (Г, К") ск (р - Г - К") ск-+к. (р) =
= е(Г, К") в (К, К' + К") cK + K',rK"(p), (6.4.60).
но, с другой стороны,
[ск (Р - Г - К") СК> (р - *")] ск" (р) =
= 6{К, К')ск+к^р-К")сК"{р) =
= е (/С, К')е(К + К', К") ск+к'+к-(р). (6.4.61).
Итак, мы должны потребовать для е выполнения условия
е (К, К') в (К + К', К") = е (Г, К") в (К, К' + К"), (6.4.62).
