Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
Они порождают подгруппу U(l)d группы G, называемую максимальным тором. В
некоторых случаях можно реализовать симметрию G, введя d штук левых
скаляров, которые распространяются на максимальном торе этой группы. (Или
же (G X G) -симметрию можно реализовать с помощью d скаляров, имеющих как
правые, так и левые компоненты и распространяющихся на том же
максимальном торе.) Например, группа SU(2) имеет ранг единица, ее
максимальный тор - это окружность, и SU(2) -симметрию можно организовать,
взяв только одно скалярное поле. Группы 50(4) и 50(8) имеют ранги два и
четыре соответственно и требуют введения либо двух, либо четырех
скалярных полей. Поскольку эти периодические поля "живут" на максимальных
торах рассматриваемых групп, то любое "естественное" преобразование этих
торов является симметрией для указанных скалярных полей. Переходу от
(6.4.18) к (6.4.19) как раз и соответствует преобразование максимального
тора группы 50(4), которое задает разложение 50(4) в S?/(2)X SU(2), а
манипуляциям гл. 5 соответствуют (о чем вкратце упоминалось в приложении
5.А) преобразования максимального тора, порожденные триальностью.
SU(2)l иSU(2)'l:
(6.4.20)
6.4. Компактификация на торы
361
Группы, которые допускают реализацию в терминах скалярных полей,
распространяющихся на максимальных торах, принадлежат к так называемым
группам с простыми связями, у которых все корневые векторы имеют равную
длину; это группы SU(N), SO(2N) и Е6, Е7 и Е\$. Поскольку группа SO(2N)
достаточно ясно описывается и на языке свободных фермионов, то формализм
бозонов на максимальном торе пригодится нам для исследования остальных, в
особенности исключительных групп.
6.4.3. Гетеротическая струна в бозонизованном виде
Займемся теперь обобщением описанной выше конструкции, чтобы получить
вместо SU(2)l X SU(2)r те группы симметрии, которые возникают в теориях
суперсимметричной гетеротической струны, а именно spin(32)/Z2 или Е8УСЕ8.
Для достижения этой цели мы заменим использованные ранее 32 координаты Л
на 16 левых бозонных координат и покажем, что, компактифицируя эти
координаты на тор подходящего размера и формы, мы сможем воспроизвести
все предыдущие результаты. Найти правильный тор - это значит найти
граничные условия для бозонных координат, корректно описывающих процедуру
бозонизации заданного набора фермионов с заданными граничными условиями.
Однако мы не будем следовать дедуктивному методу; оказывается, что
гораздо проще сразу построить некий специальный тор, а потом проверить,
что он приводит к нужной группе симметрии и правильно воспроизводит
спектр частиц.
Предположим, что 16 из 26 левых бозонных координат компактифицированы, и
выпишем для них разложение по модам в виде
X!L = x'L + p'L (т + а) + ? - alne-2inix+a), (6.4.21)
пФ О
где /= 1, 2, ..., 16. Вдобавок к этим координатам у нас имеются
стандартные моды для правого сектора суперструны: ап и
Sn (мы пользуемся калибровкой светового конуса), где / = = 1, ..., 8 -
это индексы представления 8V поперечной пространственно-временной группы,
а а= 1...........8 - представле-
ния 8S соответственно. Естественно, присутствуют и обычные левые моды ап.
Попытка проквантовать систему Xl (т + а) изолированно, без включения мод
.Хд(т - а), наталкивается, однако, на некоторую довольно неожиданную
трудность. У системы только левых
362
6. Неабелева калибровочная симметрия
переменных в фазовом пространстве появляются связи, поскольку сопряженный
импульс X пропорционален X', и для квантования надо использовать скобку
Дирака. Более быстрый путь к ответу заключается в следующем. Если
присутствуют как правые, так и левые моды, то выполняется стандартное
перестановочное соотношение
[х1, р1] = ibIJ. (6.4.22)
Если мы теперь запишем х1 = x!L + x'R, р1 = p'L _j_ p'R, где
левые-
моды xlL, p'L обязаны коммутировать с правыми модами x'R,
р'а, то из (6.4.22) следует
К> Р[\= 4"6//==К> Ря\> (6.4.23)
причем множитель 1/2 для дальнейшего весьма существен. Вследствие такого
коммутатора оператор
V0(K, т + o)=-.eiK'XL(x+a] (6.4.24)
удовлетворяет равенству
[р[, V0(K)]=K'V0(k). (6.4.25):
Вектор p!L представляет собой аналог величины p/2 L, введенной в разд.
6.4.1. Напомним, что там мы имели дело с левыми модами, для которых р^ =
p/2 L, и правыми модами с pR = p/2 - L. Теперь мы предполагаем, что 16
компактифицированным координатам вообще не соответствует никаких правых
мод, а это значит, что числа намотки и импульсы связываются между собой
соотношением р1 /2 - U = 0.
Условие компактификации 16 левых координат на некий тор Т16 означает, что
все точки, координаты которых отличаются на векторы периода, надо
отождествить, что естественно описывать следующим образом. Начнем с 16-
мерного евклидова пространства R16. В этом пространстве введем 16
независимых j " векторов eit i = 1, ..., 16, и определим решетку Г как
совокупность точек вида qI = n^JmeIi с целыми коэффициентами п'.
(Множитель я упростит дальнейшие формулы.) Зададим тор Г16 = Rl6/T. Точка
