Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
будем считать Г четной и целой решеткой.
Как мы уже отмечали выше при исследовании фермионного подхода, условие
(6.4.33) в силу неотрицательности N обеспечивает спектр, свободный от
тахионов. Факт этот совершенно не банален, поскольку в теории бозонной
струны - а именно она была использована для описания левого сектора-
спектр реально содержит тахион.
Обсудим теперь калибровочные симметрии полученной теории. Состояния,
отвечающие безмассовым векторным частицам, строятся как тензорные
произведения правых SO (1, 9) -векторов с N = 0 на левые лоренцевы
скаляры, удовлетворяющие
jV + y(pL)2=l. Всегда вне зависимости от выбранных значений радиусов
можно задать шестнадцать левых скаляров как
oil |0). Эти состояния как раз соответствуют набору векторных
калибровочных полей, появляющихся при редукции Калуцы - Клейна, связанных
с группой [(1) ]16 --группой изометрии тора Т, и их появление совершенно
неудивительно. Напомним, однако, что в разд. 6.4.1 нам удалось за счет
специального выбора радиуса расширить калибровочную группу с U(\)'XU(\)
до SU(2)X SU(2). Аналогичное явление имеет место и в нашей задаче:
калибровочная группа может быть расширена, если в решетке Г содержатся
векторы, имеющие квадрат длины, равный двум. Если в решетке найдутся узлы
с К2 = 2, то ассоциированные с ними состояния будут описывать скаляры и
дополнительные безмассовые векторные поля окажутся во
366
6. Неабелева калибровочная симметрия
взаимно однозначном соответствии с этими узлами. Тут и вступает в игру
заранее приготовленная нами четная целая решетка Г: если, например,
квадрат длины базисных векторов е1. равен двум (это минимальное возможное
значение в такой решетке), то, положив К1 = е* (для каждого г), мы как
раз получим безмассовое векторное состояние \К')-
В этой книге нам уже приходилось однажды сталкиваться с четными целыми
решетками. Напомним, что в приложении 5.А мы описали решетки корней и
решетки весов групп SO (2п). При этом мы обнаружили, что корни (ненулевые
веса присоединенного представления) как раз имеют квадрат длины, равный
двум, т. е. решетка корней - это четная целая решетка. Однако
12 3 4 5 6 7
Рис. 6.4. Схема Дынкина для группы Es.
автодуальной решетка корней для группы SO(2n) не будет: помимо весов
присоединенного представления в дуальную решетку попадают еще и весовые
векторы других представлений.
Вообще говоря, на любой четной решетке точки с квадратом длины, равным
двум (в совокупности называемые Лг), являются ненулевыми корнями
некоторой алгебры Ли G1). Для только что описанной конструкции это
означает, что в теории струн калибровочные поля, соответствующие
безмассовым векторным мезонам, ассоциированным с такими точками, будут
преобразовываться по некоторой группе, изоморфной G. Поскольку при этом
мы получаем ровно 16 штук левых бозонов, то, вообще говоря, мы можем
прийти к совершенно произвольной группе Ли с простыми связями2) ранга 16.
На первый взгляд мы при этом оказываемся перед необозримым множеством
возможностей.
Условие, которое позволяет радикально ограничить этот произвол, - это
условие автодуальности решетки Г. Выше мы уже
4) Мы докажем это чуть позже, в разд. 6.4.4, построив замкнутую алгебру
Ли вершинных операторов, соответствующих точкам произвольной целой
решетки, имеющим квадрат длины, равный двум.
г) Вот список конечномерных алгебр Ли, обладающих этим свойством: SO(2N),
SU(N), Ев, Ei и Eg. Общая длина ненулевых корней в таких алгебрах
традиционно выбирается равной V2-
6.4. Компактификация на тори
367
видели, что для левых бозонов, которые должны иметь одинаковые числа
намотки и импульсы, требование автодуальности Г выглядит вполне
естественно. (Для автодуальной Г условие
(6.4.30) не налагает никаких ограничений.) Однако доказать
необходимость этого условия мы не могли, и в этом положении мы будем
оставаться вплоть до гл. 9, где будет развита концепция модулярной
инвариантности. Поэтому пока что мы примем на веру тот факт, что решетка
Г должна быть четной автодуальной решеткой, и рассмотрим его возможные
следствия. В математике решетки такого типа активно используются в теории
чисел и потому прекрасно исследованы. Четные автодуальные решетки (с
евклидовой сигнатурой) существуют только в размерностях, кратных восьми.
В размерности 8 существует только одна такая решетка, Гг, т. е. решетка
корней исключительной группы Е&. В этом случае матрица gij = ei-ej - это
матрица Картана для Е&, и в базисе простых положительных корней она имеет
вид
-2 -1 0 0 0 0 0 0
-1 2 -1 0 0 0 0 0
0 - 1 2 -1 0 0 0 0
0 0 -1 2 -1 0 0 0
0 0 0 - 1 2 -1 0 -1
0 0 0 0 - 1 2 -1 0
0 0 0 0 0 - 1 2 0
0 0 0 0 -1 0 0 2
что соответствует схеме Дынкина, изображенной на рис. 6.4. (Краткое
описание схем Дынкина было в приложении 5.А.)
В размерности 16 имеются две автодуальные решетки, а именно произведение
Г8 X Г8 двух экземпляров решетки Г8 и решетка, обозначаемая Гх6, которая
содержит решетку корней группы SO (32) в качестве подрешетки. В теории
