Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(2.7). Возможные способы преобразования системы (2.13) в бесконечную
систему алгебраических уравнений указаны в § 1 главы 5. Здесь
рассматривается лишь способ, использованный в работах [281, 282] для
получения обширных количественных данных.
В указанных работах используется вариационная формулировка исходной
граничной задачи
Если в качестве базисных функций использовать однородные решения, то
после их подстановки в (2.14) получаем вариационную формулировку
граничных условий на торце х = 0. Собирая коэффициенты при вариациях бЛр,
приходим к следующей бесконечной системе уравнений:
Отметим, что вариационное уравнение (2.14) записано для действительных
смещений и напряжений. Его обобщение на общий случай комплексных корней
содержится в работе [287].
В работах [281, 282] система (2.15) решалась методом редукции. В области
частот 0 < Q < Q* в решении сохранялись распространяющаяся мода и десять
пар нераспространяющихся (р - 1, 2, ...
г) = 2/ (г) G;
v
(2.13)
2 (??> 2) - 2g (г) G.
у
Выражения для ох (?v, г) и xzx (?v, г) определяются формулами
+ -%L + -75*- + рю2"*] в"г} dxdz -К j {[2G/ (г) - ах] 8их +
+ [2Gg (г) - тхг] биг\ |*=о dz - 2 J (az8uz + хгх8их) \x^dx = 0. (2.14)
2 Л I [M&V. 2) их (?ф, 2) + (Су, г) иг (?[i, Z)]dz=
v -1ft
ft
= 2G J [/ (г) ых (ёв, г) -(- ? (г) и, (&, г)] dz, (2.15)
-л
252
10). При переходе в область более высоких частот соответственно
увеличивалось число распространяющихся мод, однако общее число
неизвестных в системе оставалось постоянным. При этом погрешность
удовлетворения граничным условиям на торце для рассмотренных нагрузок не
превышала 4%.
Более сложный общий случай возбуждения трехмерного волнового поля в слое
нагрузкой, изменяющейся вдоль оси 0у, рассмотрен в статье [287]. Эта
работа не содержит обширных количественных данных, однако на одном
примере в ней показано, что при определении постоянных Ау из системы
(2.15) и из системы, получающейся при алгебраизации соотношений (2.13) по
методу наименьших квадратов, получаются близкие результаты.
§ 3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОЛЕЙ В ВОЛНОВОДЕ.
РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Как и для задачи Лэмба, при изучении вынужденных колебаний слоя
интересным является вопрос об эффективности возбуждения той или иной
распространяющейся моды в зависимости от частоты, способа приложения и
вида внешней нагрузки. Здесь мы остановимся только на случае возбуждения
волн Рэлея - Лэмба
Рассмотрим общее выражение среднего за период потока мощности W через
поперечное сечение х = const единичной ширины. Согласно выражению (5.8)
главы 1 эта величина определяется формулой
h
W - j- j (ахих - о*хих 4- ххги*2 - т*хги.г) dz. (3.1)
-ft
Вначале конкретизируем эту формулу применительно к случаю бесконечного
волновода, рассматривая сечение х = с, с > а. Прямая подстановка в (3.1)
выражений для смещений и напряжений приводит к довольно громоздкому
соотношению. Однако, используя свойства нормальных волн в волноводе, его
можно существенно упростить.
Обратимся к составляющим смещений и напряжений, отвечающим комплексным
корням. Если учесть четность функции f (?) и выражения для их (?, г), иг
(?, z), F' (?) в (2.6), то легко убедиться, что все члены ряда по р
(обозначенные для краткости i4p) (х, г) и и(гр) (х, г)) в (2.5) являются
вещественными функциями от х и г. Следовательно, вещественными являются
соответствующие составляющие (х, г) и (х, г) в выражениях для напряжений.
Отсюда следует, что для любых пар (?р, - ?р) и (^, -?j) (в том числе и
для р = q) комплексных корней справедливы равенства
0(/> (х, 2)и(х]* (X, 2) - а(/>* и, 2)и(х ' (*, 2) = 0,
Ти (х, 2) Иг4'* (X, 2) - XХТ (х, 2) Uz4) (X, Z) ЕЗ 0. ^
2S3
Анализ соответствующих выражений показывает, что аналогичным свойством
вещественности обладают составляющие смещений и напряжений,
соответствующие чисто мнимым корням ? = = гт)ш. Отсюда заключаем, что
соотношения (3.2) справедливы не только для комплексных корней, но также
для любой комбинации решений, отвечающих чисто мнимым и комплексным
корням. Это свидетельствует о том, что средние по времени потоки энергии,
соответствующие нормальным волнам с комплексными и чисто мнимыми
постоянными распространения, равны нулю в каждой точке поперечного
сечения волновода х - с.
Дальнейшее упрощение выражения для потока мощности связано с анализом
вклада в (3.1) смешанных произведений частных решений, отвечающих
вещественным и чисто мнимым, вещественным и комплексным, а также
различным вещественным корням дисперсионного уравнения. При этом за
основу берется справедливое для любой пары I, и ?4 (г Ф s) корней
соотношение обобщенной ортогональности. В принятых обозначениях это
соотношение имеет вид н
j [сг* (?,. г) их (?,, г) - ххг (?,, г) иг (?,, г)] dz - 0. (3.3)
-н
Различные подходы к выводу соотношения (3.2) и его роль при анализе
особенностей распространения волн в волноводе обсуждаются в работах [11,
56, 140, 177].
Рассмотрим составляющую в общем потоке W, соответствующую вещественному
