Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
корню = \г и произвольному корню ?,. После подстановки соответствующих
выражений в (3.1) находим, что средний поток мощности пропорционален
разности следующих интегралов:
л
Л = 5 К (1г, г) их (?" г) + ххг (&., г)и\ (?*, г)) йг,
? (3 4)
h = J 1СТ* dr. г) их (L г) + тх? (сг, г) иг (?,, z)\ dz.
-ft
Из выражений (2.6) и (2.7) имеем следующую группу равенств:
Щ (1, г) == ах (%г, г), тхг (!г, г)== - хХ2 (|., г),
Ux (In z) = их (fr, Z), Uz (|r, z) = uz (Ir, z), (3.5)
Ux (ir\s, z) = - ux (- j'rjs, Z), uz (t'tis, z) = Uz (- 1%, z),
Ux (?s, z) == - Ux (?s, 2), Uz (?5, 2:) Uz (?s, z).
Из этих соотношений следует, что интегралы /2 и /8 в (3.4) во всех
случаях сводятся к выражениям вида (3.3) и, таким образом, равны нулю.
Этим заканчивается доказательство важного и не очевидного положения об
аддитивности среднего потока мощности
254
в волноводе. Суть этого положения в том, что отличный от нуля
средний за период поток мощности через сечение х = const
связан
только с распространяющимися модами и равен сумме мощностей, переносимых
отдельными распространяющимися волнами, т. е.
_ N __
w = ? wn. (3.6)
п=1
Составляющие потока мощности Wn при этом определяются по формуле
л
wn = -f-M(g")l2 S К (L z)Min, г)-ххг (|", 2)M2(L z)] dz.
-ft
(3.7)
После довольно громоздких выкладок, с учетом соотношений (2.6),
(2.7) это выражение можно представить в виде
Wn=G<n\A (У J2 F' (1") (a sin -fL sin |_ (3.8)
Очевидно, эта формула в одинаковой мере справедлива как для бесконечного,
так и для полубесконечного волновода. Однако если в первом случае явное
выражение для А (Е") известно - формула
(2.6), то во втором коэффициенты Ап необходимо определить из бесконечной
системы (2.15).
Поток мощности, подводимый к бесконечному слою, можно вычислить и путем
рассмотрения работы внешней нагрузки. Согласно формуле (5.8) главы 1
средний за период поток мощности W через нагруженную нормальными силами
площадку z = h, | х | а определяется соотношением
а
W = - G<a ? f (х) Im иг (х, h) dx. (3.9)
-а
Из общего выражения (2.3) находим
во , яа . яВ 02 С а Sm ~1Г -
Uz (х, Л) = ~- 3 ------------------ / (I) ехр т d|. (3.10)
Согласно (3.9) для вычисления W необходимо знать величину Im иг {х, К)
при | х | ^ а. Это обстоятельство не позволяет непосредственно
использовать переход к контурному интегрированию, без уточнения структуры
функции / (Е). Учитывая предположение о четности функции / (х) в (2.1) и
вытекающую отсюда вещественность/ (Е), в общем случае можно записать
/ (!) = Ф (?) ехр (t'Ea) + г|з* (Е) ехр (- i|a). (3.11)
Подстановка этого выражения в (3.10) приводит к представлению иг (х, h) в
виде суммы двух несобственных интегралов.
255
Полученное таким образом выражение для иг (х, И), как уже неоднократно
отмечалось, является формальным. Способ его расшифровки должен
основываться на физических соображениях. Здесь, как и в задаче Лэмба (см.
главу 3), важнейшим является вопрос об однозначности решения. Что
касается зоны вне области нагружения, то здесь выбор однозначного,
физически обоснованного решения осуществляется с помощью условий
излучения. Именно они позволяют правильно провести контур в плоскости ? =
? + + /г) при переходе к контурным интегралам.
Для вычисления характеристик поля в области | х ( =$? а также следует
указать правило образования контуров при вычислении интеграла в (3.10).
Однако условия излучения не позволяют этого сделать, поскольку в любом
сечении х = const в этой области должны наблюдаться волны, бегущие в
обоих направлениях.
Рассмотрим отдельно два интеграла, образующие выражение (ЗЛО):
i = J.^jUsin-^sin^-exp i _*jt (* + a)j
(3.12)
J 77fTasin -^-sin if-exp [i-§-(* - a)] dfc.
- 00 *
В такой записи очень легко решить вопрос о выборе замыкания контура для
каждого из них. Ясно, что для Д контур необходимо замкнуть в верхней
полуплоскости (Im ?> 0), а для /2 - в нижней (Im ? < 0). Для
окончательного выбора контуров необходимо "разделить" полюса на
вещественной оси. С этой целью рассмотрим величины /, и /2 на границе
области нагружения. При х - а 12 не дает бегущих волн, и все бегущие
волны в этом сечении связаны с /j. Поэтому в интеграле Д должны
содержаться все бегущие волны, уносящие энергию в положительном
направлении оси Ох. Аналогично интеграл Д при х = -а должен содержать все
волны, уносящие энергию в отрицательном направлении оси Ох. Эти
требования однозначно определяют положение контуров для интщ ра-лов Д и
12 относительно полюсов на вещественной оси. В частности, когда все
распространяющиеся молы имеют одинаковый знак групповой и фазовой
скоростей, то контур для Д должен охватывать все положительные полюса, а
контур для /2 - отрицательные.
После перехода к контурным интегралам в (3.12) и вычисления их по теории
вычетов находим следующее представление для Im uz (х, h):
При выводе этого равенства использованы соотношения
V (-?)-¦ (1), F' (-1) = - F (I), Im [<Чр (1) ехр (i?a)] =
Полюса, соответствующие чисто мнимым и комплексным нулям функции F (|),
