Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
использовании не возникает затруднений, поскольку групповая и фазовая
скорости всех распространяющихся мод для любой частоты имеют одинаковый
знак.
16*
243
Рассмотрим, например, поле смещений в области х > а. Исходя из
требований, чтобы в каждом сечении х = с, с > а волновое поле
представляло систему уходящих на бесконечность распространяющихся волн и
набор экспоненциально убывающих с ростом х неоднородных волн, контур
интегрирования в плоскости ? следует выбрать так, как указано на рис. 97.
Используя теорию вычетов, получаем
При суммировании в этой формуле полюса ?т в (1.7) следует выбирать лишь
со знаком плюс. Здесь также учтено, что полюс ? = fe2 является
двукратным.
Выражение (1.8) представляет поле в волноводе по системе нормальных волн.
В случае SH-волн каждая нормальная мода характеризуется не зависящим от
частоты распределением смещений по тпг А п
толщине - cos -, т = 0, 1, 2, ...
Наиболее важным и интересным свойством волновода, проявляющимся при
изучении вынужденных движений, является существование некоторых
резонансных ситуаций. Они наблюдаются в тех случаях, когда одна из
величин ?от для некоторого т = I обращает-
, In
ся в нуль, т. е. когда k2 - -----частота внешней нагрузки
становится равной частоте запирания l-й нормальной моды. Как
видно
из (1.8), конечное решение задачи при этом не существует. Исключение
может представлять случай, когда одновременно с равенством ?г = 0
выполняется условие f (0) = 0. Физический смысл последнего равенства ясен
из (1.5), поскольку
Из этой формулы следует, что внешняя нагрузка должна быть само-
уравновешенной. Отметим также, что из (1.5) с учетом (1.9) легко
получить, ЧТО 7 ~ t,m ПРИ 1т 0.
Из описанного свойства наглядно видна важная роль характера распределения
по поверхности внешней нагрузки при формировании волнового поля в
волноводе. Возможность устранить резонансную бесконечность путем
изменения внешней нагрузки является типичной для всех случаев вынужденных
колебаний систем с распределенными параметрами. Однако в данном случае
эта связь между характером нагрузки и соответствующей резонансной формой
является более сложной Подробный анализ этой задачи для конкретных видов
нагрузки можно найти в работах [24, 36].
Второй класс граничных задач описывает возбуждение SH-волн нагрузкой,
приложенной на торце полубесконечного волновода
а
(1.9)
244
* > 0,11/1 < oo, | z | ^ Л. Плоскости z = ±/i свободны от нагрузок, т. е.
•а-*" = (>'0)
На торце волновода х = О могут быть заданы силовые
оо
1 дии V4 t iwa /1
!Г Хху ~ ~дГ = li fm C0S ~т~ (1JI)
m=0
или кинематические условия
оо
= S ^mcos~7f~- (1-12)
fltssO
Для определенности изучается также симметричное по z волновое поле.
Решение сформулированных задач естественно искать в виде набора
нормальных волн. При этом можно непосредственно, на основе выражения
(1.8) записать представление для искомого компонента вектора смещений
оо
Uy (х, Z) = А0 ехр (г&2лг) + Am cos ехр (/?"*), (1.13)
т=\
где Ст - выражения из (1.7), взятые со знаком плюс. Представление (1.13),
очевидно, удовлетворяет почленно уравнению (1.2) и нулевым граничным
условиям (1.10). Условия (1.11) или (1.12) должны быть выполнены путем
выбора значений произвольных коэффициентов Ат, т = О, 1, 2, ...
В случае силового нагружения торца (1.11) эти коэффициенты определяются
так:
Л0=-"4-. Am = -i-r-> m-1,2, ... (1.14)
"2 fern
При кинетическом возбуждении (1.12) находим
Ат = фт, т = О, 1, 2, ... (1.15)
Если эти выражения для коэффициентов подставить в формулу (1.13), то
становится очевидным существенное различие между двумя указанными
случаями. Для силового возбуждения торца, так же как и при силовом
возбуждении плоских поверхностей бесконечного слоя, возможны резонансные
явления. Если во внешнюю нагрузку входит составляющая гармоника
некоторого номера I, т. е. /г Ф 0, то при совпадении частоты внешней силы
с частотой запирания l-н моды (?г = 0) смещения и скорости частиц в
волноводе становятся бесконечно большими. При этом не имеет значения,
само уравновешена или нет нагрузка на торце. В случае кинематического
возбуждения торца резонансных явлений в указанном смысле не возникает.
245
Резонансные ситуации в бесконечных волноводах раскрывают еще одну
интересную особенность таких структур. Ниже мы встретимся с явлениями
такого типа в связи с изучением распространения волн более общего вида.
§ 2. ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛН РЭЛЕЯ - ЛЭМБА
В ПЛОСКОМ ВОЛНОВОДЕ
Если к поверхностям упругого слоя г - ±h прикладываются нормальные (qz)
или касательные (qx) нагрузки, то даже при их постоянстве вдоль оси 0у
возбуждаемое в волноводе поле является более сложным, чем в рассмотренном
выше случае SH-волн. Еще сложнее оказывается картина динамического
деформирования полубесконечного слоя л: > 0, | у | < oo, | z | ^ А
нормальной (qz) и касательной (qz) нагрузками на торце х = 0. Практически
интересны также случаи возбуждения волноводов некоторой системой объемных
