Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гриченко В.Т. -> "Гармонические колебания и волны в упругих телах" -> 92

Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.

Гриченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах — К.: Наука, 1981. — 284 c.
Скачать (прямая ссылка): garmonicheskievolnivuprugih1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 114 >> Следующая

составляю-
134
щей равенство нулю касательных напряжений на торцах цилиндра оказывается
существенным. При этом, конечно, следует иметь в виду, что указанный
выбор т]" = для первой составляющей обеспечивает равенство нулю величин
т\г и Тгв при z - h. Указанные свойства позволяют представить вторую
составляющую общего решения в виде
иг = cos IQ
У?! + 00
ch р2г dJi (X/r)
sh p2h dr
Ch 0,2 sh pth +
(8.3)
и?= cos /01 В/
U=i
Здесь К/ - корни уравнения J] (X) =0; рг и р2 определяются равенствами
(1.9). Выбором значений последовательности произвольных постоянных Bj
можно удовлетворить произвольные условия по аг на торцах г = ±/г. При
этом используется свойство полноты и ортогональности системы функций Jt
(к,г) при указанном выборе X/. Значения первых корней Х( для различных
номеров I содержатся в работе [188]. Для вычисления величин X, при
больших номерах / используется формула [230, т.2]
1 й т. + 3 4 (7/я2 -J- 82m - 9)
А/-Р 88 - 3 (8(5)3 '
где Р = ~т~ (4/ + 21 + 1),
т ¦¦
4Р.
Преобразование системы функциональных уравнений, получае мых при
подстановке (8.2) и (8.3) в граничные условия (8.1), в алгебраические
основывается на разложениях
Jt (fir) = 2fiJ i (fi) ^
XfJ i (X/r)
/=1
I, (qr) = 2ql\ {q) ?
/=i
(X)-P) (Xj-Q *)Ji(Xf) XJ,Ji (у)
P) (X) + Я2) Jt (X,)
(8.5)
(Xf- >-/ ¦
и приведенных ранее представлениях рядами Фурье тригонометрических и
гиперболических функций.
Однородные условия для касательных напряжений хгг при г " 1 определяют
следующую связь между искомыми величинами:
Ап ^ Ga - ¦¦¦, (^~ - Нп "1^-. (8.6)
2Тп Qih (яд
2?i 7/ (яд
235
Здесь и далее штрих указывает на производную по полному аргументу.
С учетом связи (8.5) бесконечная система для определения остальных
коэффициентов рядов (8.2) и (8.3) представляется в виде
A) j &iJ I (^i) j _ 2V A
И- Н0 [fijJi (fi2) - Ji (^2)] ~¦
vQj (Qj - 2T2) 2(1 - 2v)
у уi ¦_/
0 2_2 '0"
/=1 KjP\
- xnPn (?) + 2e/c" (?) + |j m [2^ ("j^r - x
/. _ P \
X \ X)j (I - 2v) X.2, (*.*,+9?)
- fnt 71 - 1,2,...,
AJ. [Ji (^i) - Qi^/(^i)l-----2~ H0 [^2^;(fi2) - ;(fi2) + PJi
(fi2)l "b
¦ +I-T
/•=1 K\P\
xJT0(q)-z0Q0(<l) + 21^3
/=1 1
2r]n
v+w)
+
2vQf
(1 - 2v) (>*+??)
*•/ + ?? + 02 0, ti w 1, 2,... 1
+ .
vQ?
2v) p.
"1 у 1 - 2v A
"l ¦Пп + pf
X
2)Л
¦nT
+ I Zn
"?•
vQ
1-2v
ri=]
/= 1,2,...,
X] - P
(8.7)
где приняты обозначения
Ptt (?) = L (?г) ¦
Чя+0%
2ч2
Ц?х) •
vfij
СЛ?) = Ц?2>-----3" 7- (?i)
(1 - 2v) / (0,) vQ^
2 (1 - 2v) / (<7j) ~ 2
l;
tln + <?2 2 °2
236
QaW-jj^f + nqJlUqJ-l];
Ft \ 'l(q) 'l(Q) -
/(<?)='?7Г7^г; L(<7)! ¦
Ш ' W' 4 l\(q) *
f (Z) - |o (- iy fn cos Tin2: g (Г) = 2 g, ~^y- • (8.8)
Неизвестные лся, гп и yt в этой системе связаны в коэффициентами рядов в
(8.2) и (8.3) равенствами
*" =(-l)"0"?a/i(?s). *.-(-1)"Я.ЛйЛ (8.9)
", = В,ЛЖ.
При записи системы (8.7) отдельно выделены первое и третье уравнения,
связанные с удовлетворением граничным условиям для не-самоуравновешенных
по высоте цилиндра напряжений аг и хгв соответственно.
Главным вопросом, с которого начиналось исследование всех бесконечных
систем в этой работе, является вопрос об асимптотических оценках для
неизвестных. Именно наличие таких оценок позволяет полностью перенести
разработанные применительно к более простым задачам алгоритмы определения
собственных форм и частот на случай неосесимметричной деформации.
Структура системы (8.7) не позволяет использовать для анализа
асимптотического поведения неизвестных результаты теории бесконечных
систем Кояловича, как это было возможно в осесимметричном случае (см. § 2
данной главы). В связи с этим при анализе системы (8.7) будем исходить из
предположений, базирующихся на физических соображениях родственности
задач об осесимметрич ном и неосесимметричном деформированиях цилиндра.
Представляется естественным, что при любом конечном / характер локальных
особенностей напряженного состояния в окрестности угловой окружности
одинаков для осесимметричного и неосесимметричного случаев. Исходя из
этого можно предполагать, что, например, выражение для нормальных
напряжений с*1 ПРИ подходе к угловой окружности по поверхности г = 1
должно иметь логарифмическую особенность, как это было установлено в
осесимметричном случае (см. § 2 данной главы). С учетом принятых
обозначений этот компонент тензора напряжений представляется рядом
ch р2г _ (^/ + pl)2 ch pyZ
Р2 sh p2h 4x2.n, sh Pih
1
2G CTz ^ ^ ^
f- f=i
(8.10)
При больших значениях номеров / и г, близких к h, выражение 'В квадратных
скобках может быть аппроксимировано следующим
237
образом:
n ch^2 (%2i + Pg2)* cl1^ ^ c-ln (ft-z) fft _ 2 + _L)
sh Р2Л 4^p, sh p,h ~ 2 ^ Г * + /я /'
(8.11)
q2
Здесь учтено, что согласно (8.4) Я/ да /я и рада /я - " , а =
2/я
= 1,2.
Используя выражения для сумм бесконечных рядов (3.14) главы 5, можно
заключить, что выражение (8.10) будет обладать логарифмической
особенностью при подходе к точке г = 1, г = А,
если
lim yt = а0, а0 = const. (8.12)
f-?OC
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed