Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
стремлении частоты к величине Qe [281]. Вследствие связанности через
посредство граничных условий на торце неоднородных волн с
распространяющейся модой в систему привносится радиационное
демпфирование, и амплитуда колебаний остается конечной.
В связи с этим замечанием представляет интерес рассмотрение некоторых
количественных проявлений краевого резонанса в полубесконечном теле. При
исследовании отражения от свободного тор-па приходящей из бесконечности
первой нормальной моды в области П < Q* суммарный вектор смещений
представляется в виде
u (х, z) = А0u (ii, z) exp (- illX) + ALu (fx, z) exp (t'^x) +
oo
+ S HpU (Ip, z) exp (iZ,px) + A*p 11* (gp, z) exp (i?px)*b (5.1)
p- 2
Выполнение нулевых граничных условий на торце с помощью вариационного
принципа [281 ] приводит к бесконечной системе, которая решается способом
редукции. Вопрос о достоверности результатов, получаемых с использованием
такого способа при последовательном увеличении порядка конечной системы,
исследовался в работах [281, 282] и особенно подробно в работе [288]. Из
полученных в [281 ] результатов наибольший интерес представляют данные,
которые описывают поведение коэффициентов Аг и Ай в (5.1). Из
закона сохранения энергии, очевидно, следует, что | Аг | = А0
(Ло - считаем вещественным и положительным). При анализе резонансных
ситуаций, однако, большое значение имеют фазовые характеристики. В связи
с этим положим
Аг = - А0 ехр (г'ф). (5.2)
Зависимость сдвига фаз ф от частоты Q характеризуется данными
А А
о поведении величин Re (рис. 104, сплошная кривая) и Im
А) ^0
(штриховая кривая) (v = 0,31). В рассмотренном диапазоне частот
происходит изменение фазы от 180° до -180°. Для сравнительно низких
частот < 1,40) фазовые соотношения для падающей и отраженной
распространяющихся волн такие, как и можно было
265
0,8
0,4
-0,8
- "N П>-¦'
- ,,, j 1 1 /
- X '
|_ 1 1 1 1 1
t.38 ifio va i/a 1/6 m i,5o & л Рис. 104.
падающей нор-является зави-
ожидать в рамках стержневой модели. В области частот ?2 1,48
наблюдается резкое изменение фазы, характерное для всех резонансных
явлений. Частоту, на которой ф = 0, Im = О, = = -Л0, естественно считать
резонансной. Это наблюдается на частоте Qe = 1,483.
После прохождения резонанса с увеличением Q сдвиг фаз ф стремится к -
180°.
Для показа необычности процесса отражения мальной волны от свободного
торца существенной
симость от Q величины ф . Эта зависимость характеризует степень
возбуждения первой нераспространяющейся моды в процессе отражения (рис.
105) [281]. Видно резкое увеличение амплитуды первой нераспространяющейся
моды в окрестности частоты Qe = = 1,483.
Что касается остальных нераспространяющихся мод в (5.1), то вопрос об их
поведении в достаточной мере еще не исследован. Имеющиеся в работе [158]
данные свидетельствуют о том, что и для
величины I ф- характерна зависимость типа показанной на рис. 105.
I
Однако количественное усиление второй нераспространяющейся моды выражено
значительно слабее.
Явление краевого резонанса наблюдается также при возбуждении волновода
нагрузкой на торце. Как уже отмечалось, связь между распространяющейся и
нераспространяющейся модами приводит к тому, что все факторы напряженно-
деформированного состояния остаются конечными на любой частоте. В связи с
этим представляется целесообразным рассмотреть [45] волновод из материала
с величиной v = 0. В этом случае первая распространяющаяся мода
оказывается несвязанной с нераспространяющимися. Поэтому с помощью выбора
нагрузки на торце можно устранить радиационное демпфирование и получить
действительный резонанс в полубеско-нечном волноводе.
Для анализа возбуждения волновода с величиной v = 0 нагрузкой на торце в
области частот 0 < Q < Q* - 1,374 удобно пользоваться решением в форме
(2.9). В этом случае система (2.11) пре-
266
образуется к виду
Мо - fo>
(T*+Pi) (Т2 + pi)
х (т) dx
(6.3)
л; (т) A (q) + 2kh* X
В отличие от общего случая здесь постоянная /40 определяется независимо и
только через несамоуравновешенную часть внешней нагрузки /0. Остальные
неизвестные определяются из связанной системы с вещественными
коэффициентами.
В случае v = О решение уравнений Ламе
описывает распространяющуюся моду при любой частоте. Таким образом,
структура систем (5.4) указывает и нч существенные физические различия
случаев v = 0 и v Ф 0, по крайней мере в диапазоне частот, где существует
только одна распространяющаяся мода. В этом диапазоне частот величины и
рг в (2.9) вещественны для всех п. Если при v Ф 0 любая
(самоуравновешенная или несамо-уравновешенная) нагрузка на торце
возбуждает распространяющуюся моду, то при v = 0 это не происходит. Для
самоуравновешен-ной нагрузки полуполоса оказывается запертой вплоть до
частоты, при которой появляется вторая распространяющаяся мода (й = =
й*). Поэтому следует ожидать, что в случае полуполосы определитель
системы, образованный вторым и третьим уравнениями в (3.1), может
