Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
определенном смысле наибо- рис. 99. лее близким к равномерному
(отсутствуют перемены знака). Исключение из этого правила
составляет лишь первая мода, по существу, скачком теряющая до-
минирующий характер после появления второй и третьей распространяющихся
мод.
Говоря об особенностях возбуждения первой моды, следует обратить внимание
также на то, что именно эта мода при больших Й локализуется вблизи
поверхности, становясь похожей на волну Рэлея в полупространстве. Поэтому
описанные выше количественные результаты свидетельствуют о том, что
возбудить такой тип волнового движения равномерной нагрузкой с торца
практически невозможно.
Из представленных результатов видно, что резонансные явления на частотах
запирания при силовом возбуждении торца для волн Рэлея - Лэмба не
наблюдаются. В определенной мере это объясняется наличием связи между
отдельными распространяющимися модами. Формально математическим
следствием такой связи является неортогональность однородных решений.
Интересной иллюстрацией сложного процесса отражения волн от свободного
торца волновода являются результаты работы [281]. В ней рассмотрен
процесс отражения приходящей из бесконечности первой распространяющейся
моды от свободного торца х = 0. Математически такая задача полностью
эквивалентна предыдущей задаче о возбуждении волновода нагрузкой на
торце. Однако в физическом плане она представляется более сложной,
поскольку в этом случае характер нагрузки на торце меняется с частотой.
Как видно из выражений (2.7), ах (|, г) является четной функцией от ?, а
ххг (|, г) - нечетной. Поэтому суперпозицией падающей волны и одной
распространяющейся отраженной волны того же типа нельзя удовлетворить
нулевым граничным условиям на торце одновременно по ох и ххг. Именно
поэтому возникает необходимость в использовании всех мод для
удовлетворения граничным условиям и, следовательно, решения бесконечной
системы типа (2.13).
Наиболее интересной характеристикой процесса отражения здесь также
является распределение энергии между отдельными модами. 17+*/4 1841 259
Вычисления в работе [281] выполнены при v = 0,25 в частотном диапазоне
1,6 ^ й ^ 2,2. Используя тот же способ изображения мод, что и на рис. 99,
результаты расчетов в этом случае можно представить так, как указано на
рис. 101.
На частотах ?2 < й* вся энергия уносится от торца первой
распространяющейся модой. Однако это, конечно, не значит, то волновое
движение вблизи торца является простой суммой падающей и отраженной волн.
Возбуждение нераспространяющихся мод может быть при этом столь
эффективным, что соответствующие им амплитуды напряжений (смещений) более
чем в 30 раз превосходят амплитуду падающей волны.
После появления других распространяющихся мод в интервале й* < й < k доля
первой моды постепенно уменьшается, а третьей ("обратная" волна) -
увеличивается. Вблизи частоты й = k третья волна уносит более 60%
подводимой энергии. На самой частоте й = k главенствующую роль играет
вторая распространяющаяся мода. В интервале k < й < 2 существуют только
две распространяющиеся моды, причем доминирующей является первая. После
частоты й = 2 роль первой моды довольно быстро падает и доминирующей
становится третья мода.
При сравнении данных рис. 99 и 101 обнаруживается некоторая общая
закономерность - энергетический вес отдельных распространяющихся мод в
обоих случаях существенно зависит от частоты. Однако говорить о частотных
диапазонах, в которых та или иная мода имеет доминирующее значение вне
зависимости от вида внешней нагрузки, по-видимому, нельзя. Связь между
характером нагрузки и наиболее интенсивно возбуждаемой модой в общем
случае является чрезвычайно сложной. В формировании амплитуды уходящих
волн участвует вся совокупность неоднородных, экспоненциально убывающих
от торца волн.
Рассмотренная задача об отражении первой нормальной моды от свободного
торца волновода является интересной вследствие наличия тесной ее связи с
проблемой отражения волны Рэлея от места резкого изменения геометрии
поверхности (угла). Именно первая распространяющаяся мода на высоких
частотах переходит в волну Рэлея. Однако в рассмотренном частотном
диапазоне (см. рис. 101) первую моду еще нельзя отождествлять с волной
Рэлея. Расчеты при более высоких частотах позволили бы дать полный
количественный энергетический анализ процесса отражения поверхностной
волны от прямого угла, и в частности оценить потери на возбуждение
объемных волн.
260
Анализ волнового поля в по-лубесконечном волноводе при возбуждении с
торца позволяет рассмотреть некоторые аспекты проблемы формулировки
динамического принципа Сен-Венана.
Специфику задачи и возможную формулировку принципа для не-установившихся
процессов подробно рассмотрели авторы ра- Рис- 101-боты [107]. В случае
установившихся волновых движений уже на основе анализа дисперсионных
соотношений можно утверждать, что при динамическом нагружении эффект Сен-
Венана не существует. Это обусловлено наличием распространяющихся мод при
