Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Построенное решение (5.6) тождественно удовлетворяет нулевым граничным
условиям для касательных напряжений хгг и тге. Это объясняет наличие
только одной (вместо трех) последовательности произвольных постоянных y-f
в рядах Дини по полным системам функций Jt (Х/r) и двух плотностей х
(т) и г (т) в
интегралах Фурье.
Выполняя с помощью (5.6) граничные условия
приходим к бесконечной системе линейных интегро-алгебраических уравнений
относительно х (т), г (т) и г//:
со
(5.7)
2G °г ~~ 2G Тг0~ 2G Тг2 "
x(x)lT(q) + z(r)Q(q) + q + iji X2 + q2
1т2_________________ 2та
где
P(q) =
C(q)
4+p № + яЬ (та +<% + №)
f (?a) 4т2/ (9l)
т2+^+2/* ,
4/ (<7i)
qt
Г qj + P
1 / (?a)
"2т2- '
•/(<72)
TS + ?2
Q(<7) " 2/(9l) Л/ (P) = Pa
2t2/ (9l)
P
/(? a)
Q2
2t2
/ (Pa) - -
(<7a)
T2 + l
(b/+P2)*
4X2.Pl
/(p) =
ql'i (?) 0 (?)
Выкладки, аналогичные проделанным в § 8 главы 6, показывают, что для
неизвестных в бесконечной системе (5.8) справедливы соотношения
lim х (т) = lim у, = а0 = const,
Т^оо /-voo
lim z (т) т* = const.
(5.9)
Соотношения (5.9) существенно используются как при редукции бесконечной
системы (5.8), так и при вычислении напряжений на границе. Для перехода к
конечной системе полагаем
х(х) = а0, 2(т) = 0, т > Т, yt = а0, / > J. (5.10)
Постоянная а0, как и ранее, определяется через разность нормальных
напряжений а, и ог, заданных при г = 1, z = 0, т. е.
а0 (?2г•
¦&Ь =2"/+
(=1
(^/ + Рг) (7-/ + р\ + Р)
21
,Рг
-PJ2-
+
+
ОО
Я*
(т)
(т2+92+Р) (т2 + $ 2^+Р
2т2/ (?!>
+ 2 (Т) /
т2 + ?1 + 1
2/ (?i)
?2
/ (Ра)
Г (?2) 2?22+Р
+
Q;
2т2
+
1 (?а)
dt. (5.11)
При решении конечной системы для / = 2 принималось / = = 7, Т - 30,
интегрирование производилось методом Гаусса по 48 узлам; = 1, g, = 0, / >
1.
Из анализа результатов расчета следует, что для v = 0,3317 при изменении
частоты от П2 = 2,13 до П2 = 2,14 происходит скачкообразное изменение
фазы (знака) всех характеристик напряженно-деформированного состояния.
Кроме того, при подходе, например,
18'
m
снизу к частоте П2 = 2,13 все величины обнаруживают тенденцию к
неограниченному возрастанию. Поскольку П2 = 2,31 (см. рис. 58), то
найденный резонанс связан только с нераспространяющимися модами. Как и в
осесимметричном случае, соответствующая собственная форма характеризуется
локализацией зоны больших амплитуд смещений вблизи торца цилиндра. Однако
здесь вследствие отсутствия связи с распространяющимися модами существует
принципиальная возможность бесконечного роста амплитуды смещений
(напряжений) при вынужденных колебаниях для любых значений v.
Описанные выше резонансные явления в бесконечных телах представляют,
пожалуй, наиболее яркую характеристику специфики волновых процессов в
упругих средах. Проблема поиска резонансов на нераспространяющихся модах
и анализ условий их существования являются одной из наиболее интересных
проблем стационарной динамики упругого тела.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Айнола JI. А., Нигул У. К. Волновые процессы деформаций упругих плит и
оболочек,- Изв. АН ЭССР, 1965, 14, № 1, с. 3-63.
2. Аксентян О. К¦ Особенности напряженно-деформированного состояния плита
в окрестности ребра.- Прикл. математика и механика, 1967, 31, вып. 1, с.
178-186.
3. Аксентян О. К., Селезнева Т. Н. Определение частот еобственных
колебаний круглых плит.- Прикл. математика и механика, 1976, 40, вып. 1,
с. 112-119.
4. Александрова О. В., Махсма В. К., Шленев М. А. О корнях уравнения
Рэлея - Лэмба.- Ростов н/Д : Рост. инж.-строит, ин-т, 1974. - 25 с.
5. Амензаде Ю. А. Теория упругости. - М. : Высш. школа, 1974. - 287 с.
6. Андерсон О, Определение и некоторые применения изотропных упругих
постоянных поликристаллических систем, полученных из данных для
монокристаллов.- Физ. акустика : Принципы и методы. Пер. с англ., 1968,
ЗБ, с. 62-121.
7. Бабешко В. А. К теории динамических контактных задач.-' Докл. АН СССР,
1971, 201, №3, с. 556-558.
8. Бабешко В. А. Об условиях излучения для упругого слоя.- Докл. АН СССР,
1973, 213, №3, с. 547-549.
9. Бабич В. М., Молотков И. А. Математические методы в теории упругих
волн.- Механика деформируемого твердого тела / ВИНИТИ, 1977, 10, с. 5-62.
10. Баренблатт Г. И. О некоторых вопросах механики хрупкого разрушения.-
Инж. журн. Механика твердого тела, 1968, № 6, с. 153-164.
11. Бобровницкий Ю. Н. Соотношение ортогональности для волн Лэмба.-
Акуст. журн., 1972, 18, вып. 4, с. 513-515.
12. Борн М., Вольф Э. Основы оптики.- М. : Наука, 1970. - 855 с.
13. Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье.- М. : Фнзматгиз, 1962.- 360 с.
14. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. -М. : Изд-во АН СССР,
1957,-502 с.
15. Буллен К. Е. Введение в теоретическую сейсмологию. -М. : Мир, 1966. -
> 460 с.
Тб. Бурлий П. В., Кучеров И. Я• Обратные упругие волны в пластинах.-
Письма в ЖЭТФ, 1977, 26, № 9, с. 644-647.
17. Бырдин В. М. Условия излучения для некоторых краевых задач с
уравнениями Гельмгольца.- Докл. АН СССР, 1978, 238, №2, с. 293-295.
