Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
сил. Мы не будем рассматривать такой тип нагрузки. Отметим, что некоторые
результаты общетеоретического анализа свойств волновых полей в этом
случае содержатся в работах [23, 71].
Рассмотрим вначале первую из описанных задач. Поскольку решения для
нормального и касательного нагружения существенно не различаются, то
остановимся на анализе следующей граничной задачи:
1
20
т. е. случая возбуждения симметричных относительно плоскости z = 0 волн
Рэлея - Лэмба. В определенной мере это моделирует практические случаи
возбуждения волновода, когда акустический контакт между излучателем и
слоем (пластиной) осуществляется через тонкий слой жидкости [20]. Далее
для определенности будем считать / (х) четной функцией, т. е. f (-х) = f
(х). Случай / (х) = = /о = const рассматривался в работе [217], где
содержатся некоторые данные о характере движения поверхности слоя вне
нагруженной площадки.
Выражения для скалярного <р (х, г) и одной компоненты ау (х, г)
векторного потенциалов, представленные через интегралы Фурье имеют вид
оо
Ф (X, z) = J Ф0 (|) cos exp (igx) dl,
~Г (2-2)
ау (х, г) = j Л о (g) sin exp (igx) d.%,
-oo
где использованы обозначения § 2 главы 4. Исходя из формул (2,2), можно
найти выражения для всех характеристик напряженного состояния. При
удовлетворении граничным условиям (2.1)опреде-
/(*).
О,
I х I > а,
2 G
= 0, г = ±Л, (2.1)
246
ляются произвольные функции Ф0 (?) и А0 (|). Окончательные выражения для
компонентов вектора смещений приобретают вид
их (*, г) = -L J f (I) -JL [(2?" _ Q*) sin -f- cos
-OO
+ 2afi sin cos -^-J exp (i&) dg,
oo
".(*. *) = " j m^^-Q^sin-f-sin 2*
-CO W
- 2|a sin ~ sin -j exp (igx) dg,
2h
(2.3)
яаг
где
Q = ^-; a* = -j|U- P2 = Q2-f2; z7 (I) * (2f2 - Й2)2 COS -f. sin + 4!2сф
sin cos -тр-> (2.4)
f(l) = J /(x)exp(-ilx)dx.
Выражения (2.3) являются формальным решением задачи, а для получения
фактического решения следует указать способ вычисления несобственных
интегралов. Функции, входящие в интегралы (2.3), имеют особенности на
вещественной оси в точках, где F (|) = 0. Это равенство является
дисперсионным уравнением Рзлея - Лэмба и подробно исследовалось в главе
4. Легко проверить, что подынтегральные функции в выражениях (2.3)
являются четными по а и (3 и, следовательно, не имеют точек ветвления.
Для получения на основе (2.3) расчетных формул рассматриваем эти
выражения в комплексной плоскости ? = ? + й] и используем теорию вычетов.
Для образования замкнутого контура к вещественной оси следует добавить
полуокружность большого радиуса. Окончательный выбор замкнутого контура
определяется положением сечения, в котором анализируется поле, и
требованиями условий излучения. Если для определенности рассматривать
сечение х = с, с > а, то замыкающую полуокружность всегда следует
выбирать в верхней полуплоскости (рис. 98). Тем самым в представление
характеристик поля в данном сечении включаются только те неоднородные
волны, которые экспоненциально убывают с ростом х. Способ обхода полюсов
на вещественной оси определяется условиями излучения. В данном случае эти
условия требуют, чтобы соответствующий каждой бегущей волне поток энергии
в рассматриваемом сечении х - с был направлен в положительном направлении
оси Ох. В широком диапазоне изменения частоты это требо-
247
Рис. 98.
вание по существу сводится к требованию положительности фазовой скорости
бегущей волны, т. >е. к выполнению условия | > 0. Выбор контура при этом
указан на рис. 98, б, соответствующем некоторой частоте в интервале 2 < Q
< 4. Здесь дисперсионное уравнение F (|) = 0 имеет три вещественных корня
(см. рис. 61). В одном из исключительных случаев Q1* < Q < k наименьшему
по модулю вещественному корню соответствует волна с противоположными
направлениями групповой и фазовой скоростей. Поэтому замкнутый контур
следует выбирать так,, как показано на рис. 98, а.
После выбора замкнутого контура из выражений (2.3) следуют представления
для компонент вектора смещений при х > а:
N
U (X, Z) = 2 А (У 11 (У г) ехр {Цпх) +
п=и
tf+Af
+ 2 Л (iT]m)i u (irjm, z)exp(- rw*) +
m=W-H
+ 2 1А (Q U (y 2) exp 0V) + A (- Q u (- 3. z) X
x ежр(- i&x)],
где
(2.5)
u (x, z) = uxtx + шгег; A (?) -= 2ш
hF' (I)
m
(2?2 - П2) sin
яВ Л яаг . 0 о • яа "
2 C0S "ЙГ + 2аР ЗШ ~ C0S 2h
"Рг 1. 2h J'
иг (I, z) = -~ a [(2?a - Q2) sin sin
jiaz
2h
о . зга . зхб2 2^sm. -sin-|-
(2.6)
248
F' (?)*-= ? {- -J- cos if- cos if- [(2?2 - Q2)2 + ЧУ] +
-Q2)2 + 4?2oc2]
Яр
+ ~ sin if- sin -s. ((2g(r) - Q2)2 + 4t2cc2] +
яа
T
яр
2
-f 8 (2?2 - Q2) cos ~ sin -y- + 4 sin -y- cos -4^- X
X
2оф - ?!
2 "2 + |
ар
Выражениям (2.5) для смещений можно поставить в соответствие выражения
для напряжений. Их структура остается такой же, как и (2.5), а зависящие
от г множители имеют вид
оЛ г) = - G [(2? - Q2) (? + -^(iVg-2vT ) sin if- cos
яаг 2A
+
+ 2?2оф sin cos
-j- ouj 2 2ft
** (iI z) - - Gf'a? (2? - Q2) [sin if
. яаг sm nT---------
. яа . яРг
