Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
не дают вклада в выражение для 1тыг (х, h). Если учесть (3.9), то это
значит, что средняя за период работа внешних сил при возбуждении
неоднородных волн равна нулю.
В связи с изложенным способом вычисления Im иг (х, h) следует обратить
внимание на следующее. Хотя из определения функции f (|) очевидно, что
она не имеет особенностей на вещественной оси. функция ф (|) в (3.11)
может иметь такие особенности. Формально это приводит к появлению в
интегралах (3.12) некоторых дополнительных полюсов на вещественной оси.
Однако в общем случае можно показать, что соответствующие вычеты не дают
вклада в мнимую часть величины иг (х, К).
Подставляя (3.13) в выражение для потока мощности через нагруженную
площадку на стороне г = h слоя, находим
ся лишь знаком. Равенство абсолютных величин является естественным
следствием отсутствия потерь в упругом волноводе. Различие в знаках
связано с несовпадением направлений координатных осей с направлением
потока мощности в двух случаях.
Из анализа выражения для потока мощности (3.15) можно заключить, что и в
случае волн Рэлея - Лэмба в волноводе возможны резонансные явления на тех
частотах, гдеF' (?,,) = 0. Из всей совокупности таких частот прежде всего
выделим частоты запирания, для которых = 0. Здесь резонансные явления
наблюдаются для несамоуравновешенных внешних нагрузок, т. е. когда f (0)
Ф 0. Если нагрузка самоуравновешена (/ (0) = 0), то, как и в случае SH-
волн, такие резонансы не проявляются. При этом соответствующая нормальная
волна не уносит энергию.
Вторая группа частот, для которых F' (?") = 0, представляет критические
частоты типа Й* на второй вещественной ветви (см. рис. 61). Структура
волнового поля в этих точках до конца не ясна и требует дополнительного
исследования.
Результаты решения задачи о возбуждении торца полубеско-нечного волновода
для случая SH-волн естественно приводят к
(3.14)
• (3.15)
Обращаясь к формулам (3.6), (3.8) и учитывая, что | А (|")| =
1/417 184)
257
постановке задач о резонансах в таком волноводе и при возбуждении волн
Рэлея - Лэмба. Этот сложный и интересный вопрос рассматривается далее в §
5.
§ 4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОЛЕЙ В ВОЛНОВОДЕ.
КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Формулы (3.6), (3.7) и (3.15) позволяют провести количественный анализ
распределения энергии между распространяющимися модами Рэлея - Лэмба в
полубесконечном и бесконечном волноводах.
В работе [282] подробно рассмотрена задача о возбуждении пс-
лубесконечного волноеодэ равномерно распределенной нагрузкой. Некоторые
данные о действии трех видов самоуравновешенной нагрузки приведены в
[183]. Вычисления в широком диапазоне частот позволили получить
интересную картину распределения подводимой энергии по распространяющимся
модам. Результаты расчетов [282] при v = 0,25 и 0 < Q < 4,2 представлены
на рис. 99, где дано процентное распределение энергии по модам. Здесь
сплсгьная линия характеризует энергетику первой моды, штриховая - второй,
пунктирная - третьей.
Характерно, что на большинстве частот изученного диапазона почти вся
подводимая энергия уносится только одной модой. Однако эта доминирующая
мода не является одной и той жена всех частотах. На низких частотах (0 <
?2 < Q* = 1,635) распространяется лишь одна мода, уносящая всю энергию.
На частотах Q* < Q <
< k = 1,732 (см. рис. 61) существуют три распространяющиеся моды. В этом
диапазоне энергетически наиболее выражена вторая мода. Важным здесь
является то, что третья мода, имеющая противоположные знаки групповой и
фазовой скоростей ("обратная" волна), возбуждается достаточно сильно,
унося более 30% энергии. В определенной мере это обстоятельство объясняет
успех экспериментов [228] по обнаружению "обратной" волны. В диапазоне k
<
< Q < 2 возможны только две распространяющиеся моды, причем вторая
сохраняет доминирующее значение. При Q = 2 снова появляется третья
распространяющаяся мода, которая постепенно становится энергетически
самой сильной.
Примечательным в энергетическом поведении первой моды является очень
резкий спад относительной величины переносимой ею энергии сразу после
появления других распространяющихся мод. Ни одна из последующих мод не
обнаруживает таких свойств. Каждая из них постепенно набирает силу и
также постепенно уступает место последующей моде. Наглядное представление
описанных свойств полубесконечного волновода дано в работе [282] с
использованием картины дисперсионного спектра. На рис. 100 выделены
частотные диапазоны, в которых соответствующая мода является
доминирующей.
В работе [282] для объяснения описанного энергетического
258
поведения исследуется зави- 1,0 симость от Q распределения ах (г) для
различных распро- о,a страняющихся мод. При этом прослеживается довольно
чет- о,6 кая связь между характером распределения этой величины в
доминирующей моде и характером внешней нагрузки. 02 Доминирующей каждый
раз является мода, у которой рас-
пределение ох (г) является в 1,4 1,8 г? 26 до з,4 да а
