Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
любой частоте для слоя со свободными от напряжений боковыми
поверхностями. Роль граничных условий в таких задачах очень важна В
частности, в случае защемленных боковых поверхностей волновод заперт
вплоть до определенной частоты. Отлична от нуля и низшая частота
запирания для неосесимметричной деформации цилиндра при п !> > 2 (см.
рис. 58 и 59). В этих случаях любое внешнее возбуждение с частотой меньше
частоты запирания приведет лишь к экспонен циально убывающим
(неоднородным) волнам На первый взгляд, здесь можно гогорть о вправе;
ливости принципа Сен-Венана в той его формулировке, которая подчеркивает
факт убывания напряжений с удалением от места приложения
самоуравновешенной нагрузки [82]. Однако в этих случаях существует
принципиальное различие - убывание напряжений происходит для любой
нагрузки, самоуравновешенной или нет.
Если рассматривать принцип Сен-Венана как некоторое выражение специфики
краевых задач статической теории упругости, а именно их эллиптичности,
оставляя в стороне вопрос о том, на каком расстоянии и с какой точностью
одна система сил эквивалентна другой, то в случае полубесконечного слоя и
цилиндра можно сформулировать его динамический аналог. Из проведенного
исследования видно, что две системы гармонических во времени сил,
приложенных к торцу волновода и производящих одинаковую работу за период,
неразличимы на достаточно большом расстоянии от торца. При этом частота
воздействия должна быть меньше той, при которой в системе возможно
существование двух и более распространяющихся мод. В последнем случае
такой принцип уже не справедлив, поскольку распределение энергии между
модами зависит от деталей распределения нагрузки на торце. Поскольку эти
моды распространяются независимо и без изменений, то распределение
напряжений всюду внутри волновода будет зависеть от характера внешней
нагрузки.
При формулировке динамического анализа принципа Сен-Венана интересным
является вопрос об оценке расстояния от торца,
17-Р/4*
261
1,0
0,8
0,6
0,6
0,2
0
/ /
/
i
1 \ V
\ ч
/' 1
1 1 s'"
/ 1 / / /
) X у
/ N ,/ % у
1,6 St 1,7 К 7,8 1,9 2,0 2,1 a 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 6.0
Ц fl
a 6
Рис. 102.
1.0
OJB
0,6
0,4
0.2
f .-¦ -N \
А Г
\ / /: / *•
\у / / f \
\ •N Ч Л
1A 6? 7,8 22 2.6 3,0
Рис. 103.
ЗА
3.8 Si
дальше которого распределение смещений и напряжений в волноводе
совпадает, по сути, с их распределением в распространяющейся моде.
Решение этого вопроса в значительной мере усложняется в связи с наличием
явления краевого резонанса При этом для одной и той же нагрузки амплитуды
нераспространяю-щихс я мод с изменением частоты могут возрастать в сотни
раз [281]. Специфике такого явления в полубесконечных телах посвящен
следующий параграф.
Кроме рассмотренного случая возбуждения волн Рэлея - Лэмба нагрузкой на
торце полубесконечного волновода определенный интерес представляет
возбуждение бесконечного волновода нагрузкой на участке поверхности. В
связи с отмеченным выше различием здесь целесообразно рассмотреть
воздействие несамоуравновешенной и самоуравновешенной нагрузок.
Вычисления проведены для таких видов функции f (х) в (2.1):
/ (х) = h = const, ^ ^
! (х) = /о cos
при v = 0,25 и а - h.
На рис 102 представлено распределение энергии между распространяющимися
модами в слое для случая равномерного нагружения. Обозначение мод такое
же, как на рис. 99 и 101. Рассмотренный диапазон частот 1,6 ^ О ^ 4,2
разбит на две части: 1,6 ^ й ^ ^ 2,2 (рис. 102, а) и 3,3 ^ Q < 4,2 (рис.
102, б). В промежуточном интервале энергия переносится практически первой
и третьей
262
модами с монотонно (почти линейно) изменяющимся процентным
распределением.
Характерным для рис. 102, а, б является наличие зон резкого изменения
силы отдельных мод в зависимости от частоты. Как иТв случае возбуждения с
торца, зона Q* ^ ?2 ^ 2 является зоной сильной нерегулярности поведения
мод. Однако процентное содержание энергии в одноименных модах здесь и для
торцевого возбуждения волновода (см. рис. 99) существенно различное. В
частности, для возбуждения в этом диапазоне "обратной" волны
рассматриваемый случай нагружения боковых поверхностей представляется
гораздо более эффективным.
Существенно отличным является также поведение распространяющихся мод в
окрестности частот запирания. В связи с наличием резонансов (F' (Е") = 0)
в окрестности этих частот происходит резкое изменение характера движения,
что отражается в скачкообразном изменении величины энергии, переносимой
той или иной модой. Такая же особенность обнаруживается и в окрестности
частоты ?2 = ?2*, где также F' (?)|q=q* = 0.
Решающую роль резонансных явлений в формировании энергетической картины,
представленной на рис. 102, подчеркивают данные расчетов для второго
случая нагружения в (4.1). Как указывалось выше, самоуравновешенность
внешней нагрузки является достаточной для устранения особенностей в
